Apakah persamaan parabola dengan fokus pada (-15, -19) dan directrix y = -8?

Jawapan:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Penjelasan:

Kerana directrix adalah garis mendatar, kita tahu bahawa parabola berorientasikan secara menegak (membuka samada atas atau bawah). Kerana koordinat y tumpuan (-19) di bawah directrix (-8), kita tahu bahawa parabola itu dimatikan. Bentuk atas persamaan untuk jenis parabola ini adalah:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Di mana h adalah koordinat x pada titik puncak, k ia terkoordinasi dari puncak, dan jarak fokus, f ialah separuh daripada jarak yang ditandatangani dari directrix ke fokus:

#f = (y _ ("fokus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Koordinat y dari puncak, k, adalah f ditambah koordinat y directrix:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

Koordinat x dari puncak, h, adalah sama dengan koordinat x fokus:

#h = -15 #

Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Memudahkan sedikit:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Jawapan:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Penjelasan:

Parabola adalah lokus titik, yang bergerak sehingga jarak dari garis, disebut directix, dan satu titik, dipanggil fokus, sama.

Kita tahu bahawa jarak antara dua mata # (x_1, y_1) # dan # x_2, y_2) # diberikan oleh #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # dan

jarak antara titik # (x_1, y_1) # dan garis # ax + by + c = 0 # adalah # | ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Sekarang jarak satu titik # (x, y) # pada parabola dari fokus pada #(-15,-19)# adalah #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

dan jarak dari directrix # y = -8 # atau # y + 8 = 0 # adalah # | y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Oleh itu, persamaan parabola akan menjadi

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # atau

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # atau

# x ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # atau

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

graf {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5, 23.5, -35.28, 4.72}