Apakah persamaan parabola dengan fokus pada (5,3) dan directrix y = -12?

Jawapan:

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Penjelasan:

Takrif parabola menyatakan bahawa semua titik di parabola selalu mempunyai jarak yang sama dengan tumpuan dan directrix.

Kita boleh biarkan # P = (x, y) #, yang akan mewakili titik umum pada parabola, kita boleh membiarkannya # F = (5,3) # mewakili fokus dan # D = (x, -12) # mewakili titik terdekat pada directrix, yang # x # adalah kerana titik terdekat pada directrix sentiasa lurus ke bawah.

Kita kini boleh membuat persamaan dengan mata ini. Kami akan menggunakan formula jarak jauh untuk menyelesaikan jarak:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Kita boleh memohon ini ke mata kita untuk mula mendapatkan jarak antara # P # dan # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Kemudian kita akan menyelesaikan jarak antara # P # dan # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Oleh kerana jarak ini mestilah sama dengan satu sama lain, kita boleh meletakkannya dalam persamaan:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Sejak titik itu # P # adalah secara umum dan boleh mewakili mana-mana titik di parabola, jika kita hanya boleh menyelesaikannya # y # dalam persamaan, kita akan ditinggalkan dengan persamaan yang akan memberi kita semua titik pada parabola, atau dengan kata lain, ia akan menjadi persamaan parabola.

Pertama, kita akan memihak kedua belah pihak:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Kita kemudian boleh mengembangkan:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Sekiranya kita meletakkan semua di sebelah kiri dan mengumpul istilah seperti itu, kita dapat:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

yang merupakan persamaan parabola kita.