Jika a ^ 3 + b ^ 3 = 8 dan a ^ 2 + b ^ 2 = 4 apakah nilai (a + b)?

Jawapan:

Terdapat dua nilai yang mungkin untuk jumlah itu, # a + b = 2 # (untuk # a = 2 # dan # b = 0 #) atau # a + b = -4 # (untuk # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

Penjelasan:

Terdapat dua tidak diketahui, jumlah dan hasil # a # dan # b, # jadi mari #x = a + b # dan #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Dua persamaan dalam dua tidak diketahui, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Itu dipanggil kubik tertekan, dan mereka mempunyai penyelesaian bentuk yang cukup mudah ditutup seperti formula kuadratik. Tetapi daripada menyentuh itu, mari kita meneka akar dengan kaedah yang dihormati masa mencuba nombor kecil. Kita lihat # x = 2 # berfungsi begitu # (x-2) # adalah faktor.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Kita kini boleh menjadi faktor selanjutnya

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x +

Oleh itu, terdapat dua nilai yang mungkin untuk jumlah itu, # a + b = 2 # dan # a + b = -4. #

Jawapan pertama sepadan dengan penyelesaian sebenar # a = 2, b = 0 # dan dengan simetri # a = 0, b = 2 #. Jawapan kedua sepadan dengan jumlah sepasang konjugat kompleks. Mereka # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. Bolehkah anda menyemak penyelesaian ini?

Jawapan:

# (a + b) = 2, atau, a + b = -4 #

Penjelasan:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (a + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Sekarang,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (a + b) (4-ab) = 8 #

# => (a + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (a + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Katakanlah,

# (a + b) = x #

Jadi, # => x (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => x (12-x ^ 2) = 16 #

# => x ^ 3-12x + 16 = 0 #

Perhatikan itu #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (x-2) # adalah faktor.

Sekarang, # x ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (x-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (x-2) (x + 4) (x-2) #.

#:.x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, atau, x = -4 #.

#:. a + b = 2, atau, a + b = -4 #.

Grafik diberikan di sini.

Nilai #color (merah) ((a + b) = 2, atau, -4. #

Semoga ia membantu…

Terima kasih…