Jawapan:
# "Tiada pemprofilanan mudah di sini Hanya kaedah umum" #
# "untuk menyelesaikan persamaan padu dapat membantu kami di sini." #
Penjelasan:
# "Kami boleh menggunakan kaedah berdasarkan penggantian Vieta." #
# "Pembahagian oleh hasil pekali pertama:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Substituting" x = y + p "dalam" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "hasil:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c =
# "jika kita mengambil" 3p + a = 0 "atau" p = -a / 3 ", pekali pertama" # # "menjadi sifar, dan kami dapat:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(dengan" p = -2/3 ")" #
# "Substituting" y = qz "dalam" y ^ 3 + b y + c = 0 ", menghasilkan:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "jika kita mengambil" q = sqrt (| b | / 3) ", pekali z menjadi" #
# "3 atau -3, dan kami dapat:" #
# "(di sini" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Substituting" z = t + 1 / t ", menghasilkan:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Substituting" u = t ^ 3 ", menghasilkan persamaan kuadrat:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Akar persamaan kuadratik adalah kompleks." #
# "Ini bermakna kita mempunyai 3 akar sebenar dalam persamaan padu kita." #
# "Akar persamaan kuadratik ini ialah #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Menggantikan pembolehubah semula, hasil:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "Akar lain boleh didapati dengan membahagikan dan menyelesaikan" # # "persamaan kuadrat yang tinggal." #
# "Akar lain adalah nyata: -3.87643981 dan 0.61210551." #
Jawapan:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
di mana:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)
Penjelasan:
Diberikan:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Perhatikan bahawa faktor ini lebih mudah jika terdapat kesilapan tipo dalam soalan tersebut.
Sebagai contoh:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-warna (merah) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6)
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + warna (merah) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Jika padu betul dalam bentuk yang diberikan, maka kita dapat mencari sifar dan faktornya seperti berikut:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Transformasi Tschirnhaus
Untuk membuat tugas penyelesaian mudah padu, kami membuat padu lebih mudah menggunakan penggantian linear yang dikenali sebagai transformasi Tschirnhaus.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = t ^ 3-282t + 1712 #
di mana # t = (6x + 4) #
Penggantian trigonometri
Sejak #f (x) # mempunyai #3# sifar sebenar, kaedah Cardano dan yang serupa akan menghasilkan ungkapan yang melibatkan akar kiub yang tidak dapat diprediksi nombor kompleks. Keutamaan saya dalam keadaan sedemikian adalah menggunakan penggantian trigonometri sebaliknya.
Letak:
#t = k cos theta #
di mana #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Kemudian:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (putih) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (putih) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (putih) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Jadi:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94)
Jadi:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Jadi:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Jadi:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Yang memberi #3# sifar yang berbeza daripada kubik # t #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # untuk #n = 0, 1, 2 #
Kemudian:
#x = 1/6 (t-4) #
Oleh itu, tiga sifar kubik yang diberikan ialah:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)
dengan nilai anggaran:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
