Sila selesaikan ini? pilihan mana yang betul?

Ini adalah mudah dilihat sebagai tidak boleh dilakukan dengan cara asas, jadi saya hanya menyelesaikannya secara numerik dan mendapat:

Saya menilai integral untuk #n = 1, 1.5, 2,…, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Pada masa itu ia telah mencapai kejayaan #0.5#.

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx =

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx =

atau

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Sekarang dengan anggapan bahawa salah satu jawapannya adalah benar, yang paling semula jadi seolah-olah menjadi keempat 4)

CATATAN

untuk #x dalam 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Jawapan:

#1/2#

Penjelasan:

Seperti yang telah ditunjukkan dalam penyelesaian sebelumnya, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

wujud dan dibatasi:

# 1/2 le I_n <1 #

Sekarang penyepaduan oleh hasil bahagian

/ 1 (x + 1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n kali (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Sekarang, sejak # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # dalam #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx =) #

Sejak #lim_ (n ke oo) I_n # wujud, kita ada

(n + 2) = lim_ (n ke oo) 2 / (n + 2) kali lim_ (n ke oo) I_ (n + 2) = 0 #

Oleh itu

# lim_ (n ke oo) I_n = 1/2 #