Jawapan:
Garis tangen adalah sejajar dengan # x # paksi semasa cerun (dengan itu # dy / dx #) adalah sifar dan selari dengan # y # paksi semasa cerun (sekali lagi, # dy / dx #) pergi ke # oo # atau # -oo #
Penjelasan:
Kami akan mula dengan mencari # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Sekarang, # dy / dx = 0 # apabila nuimerator itu #0#, dengan syarat bahawa ini juga tidak menjadikan penyebut #0#.
# 2x + y = 0 # bila #y = -2x #
Kita ada sekarang, dua persamaan:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Selesaikan (melalui penggantian)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Menggunakan #y = -2x #, kita mendapatkan
Tangen ke lengkung adalah mendatar pada kedua-dua titik:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # dan # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Perhatikan bahawa pasangan ini juga tidak menjadikan penyebut # dy / dx # sama dengan #0#)
Untuk mencari titik di mana tangen adalah menegak, buat penyebut # dy / dx # tpo yang sama #0# (tanpa juga membuat pengangka #0#).
Kita boleh melalui penyelesaian itu, tetapi simetri persamaan yang akan kita dapat:
# x = -2y #, jadi
#y = + - sqrt21 / 3 #
dan titik pada lengkung di mana tangen adalah menegak adalah:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # dan # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
By the way. Kerana kita mempunyai teknologi, inilah graf elips yang diputar: (Perhatikan bahawa # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # yang boleh anda lihat pada graf.)
graf {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Jawapan:
Menggunakan hanya matematik sekolah menengah yang saya dapat
Tangents sejajar dengan paksi x di:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) dan (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangent sejajar dengan paksi y di:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) dan (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Penjelasan:
Saya melirik jawapan Jim, yang kelihatan seperti rawatan kalkulus yang bagus. Tetapi saya tidak dapat membantu tetapi berasa sedih untuk semua pelajar sekolah menengah di sana di tanah Socrates yang ingin mencari tangen kurva algebra tetapi masih jauh dari kalkulus.
Nasib baik mereka boleh melakukan masalah ini hanya menggunakan Algebra I.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Ini mungkin agak rumit untuk contoh pertama, tapi mari kita pergi dengannya. Kami menulis lengkung kami sebagai #f (x, y) = 0 # di mana
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Mari ambil # (r, s) # sebagai satu titik # f #. Kami mahu menyiasat # f # berhampiran # (r, s) # jadi kami menulis
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)
Kami berkembang, tetapi kami tidak mengembangkan istilah perbezaan # x-r # dan # y-s #. Kami mahu mengekalkan mereka yang utuh supaya kami boleh mencuba dengan menghapuskan beberapa kemudian.
(xr) + r (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
= (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + ys) #
(x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s)
Kami berkata # (r, s) # sedang # f # jadi #f (r, s) = 0 #.
(x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s)
Kami menyusun terma mengikut tahap, dan kami boleh mencuba dengan anggaran # f # berhampiran # (r, s) # dengan menjatuhkan darjah yang lebih tinggi. Idea ini adalah apabila # (x, y) # dekat # (r, s) # kemudian # x-r # dan # y-s # kecil, dan kotak dan produk mereka masih kecil.
Mari kita buat beberapa perkiraan # f #. Sejak # (r, s) # adalah pada lengkung, penghampiran berterusan, menjatuhkan semua perbezaan syarat, adalah
# f_0 (x, y) = 0 #
Itu tidak begitu menarik, tetapi ia memberitahu kita dengan tepat di tempat yang betul # (r, s) # akan memberi nilai berhampiran sifar untuk # f #.
Mari kita lebih menarik dan teruskan istilah linier.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Apabila kita menetapkan ini kepada sifar, kita mendapat penghampiran linear yang terbaik untuk # f # berhampiran # (r, s), # yang mana satu garis tangen kepada # f # pada # (r, s). # Sekarang kita mendapat tempat.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Kita boleh mempertimbangkan anggaran lain juga:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s)
Ini adalah tangen urutan yang lebih tinggi, yang mana pelajar matematik kolej tidak pernah dapat. Kami sudah melampaui kalkulus kolej.
Terdapat lebih banyak anggaran, tetapi saya diberi amaran bahawa ini semakin lama. Sekarang kita belajar bagaimana melakukan kalkulus menggunakan Algebra sahaja, mari kita lakukan masalah ini.
Kami ingin mencari titik-titik di mana garis tangen selari dengan # x # paksi dan # y # paksi.
Kami mendapati garis tangen kami di # (r, s) # adalah
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Selari dengan # x # paksi bermakna persamaan #y = text {constant} #. Jadi pekali pada # x # mestilah sifar:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # adalah pada lengkung begitu #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Sejak # s = -2r # mata adalah
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) dan (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Begitu juga selari dengan paksi y bermakna # 2s + r = 0 # yang hanya perlu menukar x dan y disebabkan oleh simetri masalah. Jadi perkara-perkara lain adalah
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) dan (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Semak.
Bagaimana untuk menyemak? Mari kita buat plot Alpha.
plot x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Nampak bagus. Kalkulus pada lengkung algebra. Cukup bagus untuk sekolah menengah.
