Apakah extrema f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 pada [-oo, oo]?

Jawapan:

#f (x) # mempunyai minimum pada # x = 2 #

Penjelasan:

Sebelum meneruskan, perhatikan bahawa ini adalah parabola yang menghadap ke atas, yang bermaksud kita boleh tahu tanpa pengiraan lebih lanjut bahawa ia tidak akan mempunyai maksima, dan satu minimum pada puncaknya. Melengkapkan alun-alun itu akan menunjukkan kepada kita bahawa #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, memberikan puncak, dan dengan itu minimum tunggal, pada #x = 2 #. Mari kita lihat bagaimana ini akan dilakukan dengan kalkulus, walaupun.

Mana-mana extrema akan berlaku sama ada pada titik kritikal atau pada titik akhir selang yang diberi. Sebagai selang waktu kami yang diberikan # (- ya, ya) # terbuka, kita boleh mengabaikan kemungkinan titik akhir, dan oleh itu kita akan mula-mula mengenal pasti titik-titik kritikal fungsi itu, iaitu titik di mana terbitan fungsi itu #0# atau tidak wujud.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Menetapkan ini sama dengan #0#, kita dapati titik kritikal di # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Sekarang, kita boleh menguji sama ada ia adalah ekstremum (dan jenis apa) dengan memeriksa beberapa nilai # f # sekitar titik itu, atau menggunakan ujian derivatif kedua. Mari gunakan yang terakhir.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Sebagai #f '' (2) = 6> 0 #, ujian derivatif kedua memberitahu kita bahawa #f (x) # mempunyai minimum tempatan pada # x = 2 #

Oleh itu, gunakan #f '(x) # dan #f '' (x) #, kita dapati itu #f (x) # mempunyai minimum pada # x = 2 #, sepadan dengan hasil yang kami dapati menggunakan algebra.