Apakah jarak antara (0, 0, 8) dan (9, 2, 0)?

Jawapan:

Jarak adalah #sqrt (149) #

Penjelasan:

Jarak antara dua mata

# (x_1, y_1, z_1) #

dan

# (x_2, y_2, z_2) #

dalam # RR ^ 3 # (tiga dimensi) diberikan oleh

# "jarak" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Menerapkannya kepada masalah di tangan, kami mendapat jarak antara #(0, 0, 8)# dan #(9, 2, 0)# sebagai

# "jarak" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149)

Berikut adalah penjelasan tentang di mana formula jarak itu berasal, dan tidak perlu untuk memahami penyelesaian di atas.

Formula jarak yang diberikan di atas kelihatan mencurigakan sama dengan formula jarak jauh di # RR ^ 2 # (dua dimensi):

# "jarak" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

yang datang dari penerapan teorem Pythagoras yang mudah, dengan menggambar segitiga tepat antara dua mata dengan kaki sejajar dengan # x # dan # y # paksi.

Ternyata, yang # RR ^ 3 # versi boleh diperoleh dengan cara yang sama. Jika kita menggunakan (paling banyak) 3 baris untuk menyambung dua mata, pergi selari dengan # x #, # y #, dan # z # paksi, kami mendapat kotak dengan mata sebagai sudut bertentangan. Oleh itu, mari kita fikirkan cara mengira jarak merentasi kotak pepenjuru.

Kami cuba memikirkan panjang garisan merah #color (merah) (AD) #

Memandangkan ini adalah hipotenus segi tiga # ABD #, dari Teorema Pythagorean:

# (warna (merah) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (warna (biru) (BC)) ^ 2 #

# => warna merah (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (warna (biru) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Malangnya, kita tidak mempunyai panjang #color (biru) (BD) # seperti yang diberikan. Untuk mendapatkannya, kita mesti sekali lagi menggunakan teorem Pythagoras, kali ini kepada segitiga # BCD #.

# (warna (biru) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Kerana kita hanya memerlukan persegi #color (biru) (BD) #, kini kita boleh ganti # ("ii") # ke dalam # ("i") #:

#color (merah) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Akhirnya, jika kita ada # A # pada # (x_1, y_1, z_1) # dan # D # pada # (x_2, y_2, z_2) #, maka kita mempunyai panjang

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Substitusi ini ke atas memberikan kita hasil yang diingini.

Sebagai nota tambahan, sementara kita hanya boleh dengan mudah membuat bukti geometri dalam sehingga 3 dimensi, ahli matematik mempunyai jarak umum dalam # RR ^ n # (# n # dimensi). Jarak antara

# (x_1, x_2, …, x_n) # dan # (y_1, y_2, …, y_n) # didefinisikan sebagai

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

yang sepadan dengan corak dari # RR ^ 2 # dan # RR ^ 3 #.