Gunakan Teorem Zeros Rasional untuk mencari nol kemungkinan fungsi polinomial berikut: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Jawapan:

Yang mungkin rasional sifar adalah:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Penjelasan:

Diberikan:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Dengan teorem sifar rasional, mana-mana sifar rasional #f (x) # boleh diungkapkan dalam bentuk # p / q # untuk bilangan bulat #p, q # dengan # p # seorang pembahagi terma tetap #-35# dan # q # seorang pembahagi pekali #33# daripada istilah utama.

Pembahagi di #-35# adalah:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Pembahagi di #33# adalah:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Oleh itu, sifar rasional mungkin adalah:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

atau dalam susunan saiz yang semakin meningkat:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Perhatikan bahawa ini hanya kemungkinan rasional. Teorema sifar rasional tidak memberitahu kita tentang sifar yang tidak rasional atau kompleks.

Menggunakan Peraturan Tanda Descartes, kita dapat menentukan bahawa kubik ini tidak mempunyai nol negatif dan #1# atau #3# sifar sebenar yang positif.

Jadi satu-satunya sifar rasional yang mungkin ialah:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Cuba setiap kali, kami dapati:

#f (1/11) = 33 (warna (biru) (1/11)) ^ 3-245 (warna (biru) (1/11)) ^ 2 + 407 (warna (biru) (1/11) -35 #

#color (putih) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (putih) (f (1/11)) = 0 #

Jadi # x = 1/11 # adalah sifar dan # 11x-1 # faktor:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Untuk faktor baki kuadrat kita boleh menggunakan kaedah AC:

Cari sepasang faktor #AC = 3 * 35 = 105 # dengan jumlah # B = 22 #

Pasangan itu #15, 7# kerja-kerja.

Gunakan pasangan ini untuk memisahkan istilah pertengahan kemudian faktor dengan pengelompokan:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (putih) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (putih) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Oleh itu, dua lagi nol ialah:

# x = 7/3 "" # dan # "" x = 5 #