Let f menjadi fungsi berterusan: a) Cari f (4) jika _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx untuk semua x. b) Cari f (4) jika _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx untuk semua x?

Jawapan:

a) #f (4) = pi / 2 #; b) #f (4) = 0 #

Penjelasan:

a) Berbeza kedua-dua belah pihak.

Melalui Teorem Fundamental Kalkulus Kedua di sebelah kiri dan peraturan produk dan rantai di sebelah kanan, kita melihat bahawa pembezaan mendedahkan bahawa:

#f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix) #

Membiarkan # x = 2 # menunjukkan bahawa

#f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) #

#f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

#f (4) = pi / 2 #

b) Mengintegrasikan istilah dalaman.

# int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) #

# t ^ 3/3 _0 ^ f (x) = xsin (pix) #

Evaluasi.

# (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) #

Biarkan # x = 4 #.

# (f (4)) ^ 3 = 3 (4) dosa (4pi) #

# (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

#f (4) = 0 #