Let S menjadi satu persegi kawasan unit. Pertimbangkan mana-mana segiempat yang mempunyai satu puncak di setiap sisi S. Jika a, b, c dan d menunjukan panjang sisi segi empat, buktikan bahawa 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Biarkan # ABCD # menjadi persegi kawasan unit.

Jadi # AB = BC = CD = DA = 1 # unit.

Biarkan # PQRS # menjadi segiempat yang mempunyai satu puncak di setiap sisi persegi. Di sini mari # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Menerapkan Pythagoras thorem yang boleh kita tulis

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# 1 ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2)

Sekarang dengan masalah yang kita ada

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Oleh itu

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #