Jawapan:
Lakukan banyak algebra selepas menggunakan takrif had untuk mengetahui bahawa lereng pada # x = 3 # adalah #13#.
Penjelasan:
Takrif had daripada derivatif ialah:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Jika kita menilai had ini untuk # 3x ^ 2-5x + 2 #, kami akan mendapat ungkapan untuk derivatif fungsi ini. Derivatif itu hanyalah cerun garis tangen pada satu titik; jadi menilai derivatif di # x = 3 # akan memberi kita cerun garis tangen pada # x = 3 #.
Dengan itu, mari kita mulakan:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2 (3x ^ 2-5x +
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2)
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (batalkan (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-cancel (5x) -5h + cancel (2) -cancel (3x ^) -cancel (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (batalkan (h) (6x + 3h-5)) / batalkan (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Menilai had ini di # h = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Sekarang kita mempunyai derivatif, kita hanya perlu pasang # x = 3 # untuk mencari cerun garis tangen di sana:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Jawapan:
Lihat bahagian penjelasan di bawah jika guru / buku teks anda gunakan #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Penjelasan:
Beberapa persembahan penggunaan kalkulus, untuk defintion cerun garis tangen kepada graf #f (x) # pada titik di mana # x = a # adalah #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # dengan syarat had itu wujud.
(Sebagai contoh edisi ke-8 James Stewart Kalkulus p 106. Pada halaman 107, dia memberikan yang setara #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Dengan definisi ini, cerun garis tangen kepada graf #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # pada titik di mana # x = 3 # adalah
(x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) +2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Ambil perhatian bahawa had ini mempunyai bentuk tidak pasti #0/0# kerana #3# adalah sifar polinomial dalam pengangka.
Sejak #3# adalah sifar, kita tahu itu # x-3 # adalah faktor. Jadi kita boleh faktor, mengurangkan dan cuba untuk menilai semula.
# = lim_ (xrarr3) (batal ((x-3)) (3x + 4)) / batal ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Had ini #13#, jadi cerun garis tangen pada # x = 3 # adalah #13#.
