Adakah nombor sebenar sqrt21, nombor rasional, nombor keseluruhan, Integer, nombor Irrational?

Jawapan:

Ia adalah nombor tidak rasional dan oleh itu nyata.

Penjelasan:

Marilah kita terlebih dahulu membuktikannya #sqrt (21) # adalah nombor nyata, sebenarnya, punca kuasa semua nombor nyata positif adalah nyata. Jika # x # adalah nombor nyata, maka kita menentukan nombor positif #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Ini bermakna kita melihat semua nombor sebenar # y # seperti itu # y ^ 2 <= x # dan ambil nombor sebenar terkecil yang lebih besar daripada semua ini # y #'s, yang dipanggil supremum. Untuk nombor negatif, ini # y #'s tidak wujud, kerana untuk semua nombor nyata, mengambil kuadrat nombor ini menghasilkan nombor positif, dan semua nombor positif lebih besar daripada angka negatif.

Untuk semua nombor positif, sentiasa ada beberapa # y # yang sesuai dengan keadaan # y ^ 2 <= x #, iaitu #0#. Tambahan pula, ada batas atas nombor-nombor ini, iaitu # x + 1 #, kerana jika # 0 <= y <1 #, kemudian # x + 1> y #, jika #y> = 1 #, kemudian #y <= y ^ 2 <= x #, jadi # x + 1> y #. Kita dapat menunjukkan bahawa bagi setiap nombor yang tidak dibatasi nombor nyata yang bersempadan, selalu ada nombor nyata yang unik yang bertindak sebagai supremum, kerana kesesuaian yang disebut # RR #. Jadi untuk semua nombor nyata positif # x # ada yang nyata #sqrt (x) #. Kami juga boleh menunjukkan bahawa dalam kes ini #sqrt (x) ^ 2 = x #, tetapi melainkan jika anda mahu saya, saya tidak akan membuktikannya di sini. Terakhir kita perhatikan bahawa #sqrt (x)> = 0 #, sejak #0# adalah nombor yang sesuai dengan keadaan seperti yang dinyatakan sebelum ini.

Sekarang untuk kegunaannya #sqrt (21) #. Sekiranya ia tidak rasional (begitu rasional), kita boleh menulisnya sebagai #sqrt (21) = a / b # dengan # a # dan # b # nombor keseluruhan dan # a / b # dipermudahkan sedapat mungkin, yang bermaksud # a # dan # b # tidak mempunyai pembahagi biasa, kecuali untuk #1#. Sekarang ini bermakna itu # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Kini kita menggunakan sesuatu yang dipanggil pemfaktoran utama nombor semula jadi. Ini bermakna kita boleh menulis setiap nombor positif sebagai produk nombor perdana yang unik. Untuk #21# ini adalah #3*7# dan untuk # a # dan # b # ini adalah beberapa produk sewenang-wenangnya # a = a_1 * … * a_n # dan # b = b_1 * … * b_m #. Hakikat bahawa pembahagi biasa sahaja # a # dan # b # adalah #1# bersamaan dengan fakta itu # a # dan # b # tidak berkongsi bilangan dalam pemfaktoran mereka, jadi ada # a_i # dan # b_j # seperti itu # a_i = b_j #. Ini bermakna itu # a ^ 2 # dan # b ^ 2 # juga tidak berkongsi apa-apa prima, kerana # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # dan # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #Oleh itu, satu - satunya pembahagi umum # a ^ 2 # dan # b ^ 2 # adalah #1#. Sejak # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, ini bermaksud # b ^ 2 = 1 #, jadi # b = 1 #. Oleh itu #sqrt (21) = a #. Perhatikan bahawa ini hanya memegang di bawah andaian itu #sqrt (21) # adalah rasional.

Sekarang kita sudah tentu boleh menjalankan semua nombor positif yang lebih kecil daripada #21# dan periksa jika memasuki mereka memberi #21#, tetapi ini adalah kaedah yang membosankan. Untuk melakukannya dengan cara yang lebih menarik, kami beralih lagi ke prima kami. Kami tahu itu # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # dan #21=3*7#, jadi # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. Di sebelah kiri, setiap perdana berlaku sekali sahaja, di sebelah kanan, setiap perdana berlaku sekurang-kurangnya dua kali, dan selalu banyak kali (jika # a_1 = a_n # ia akan berlaku sekurang-kurangnya empat kali ganda). Tetapi seperti yang telah kami nyatakan, faktorisasi utama ini adalah unik, jadi ini tidak betul. Oleh itu # 21nea ^ 2 #, jadi #anesqrt (21) #, yang bermaksud bahawa andaian awal kami #sqrt (21) # Oleh itu, rasional ternyata salah #sqrt (21) # tidak rasional.

Perhatikan bahawa argumen yang sama memegang mana-mana bilangan keseluruhan positif # x # dengan penaksiran utama di mana salah satu primes muncul bilangan kali yang tidak sekata, kerana kuadrat nombor keseluruhannya selalu mempunyai semua faktor utama yang memunculkan jumlah yang banyak. Daripada ini kita menyimpulkan bahawa jika # x # adalah nombor keseluruhan positif (#x inNN #) mempunyai faktor utama yang hanya berlaku pada masa yang tidak sekata, #sqrt (x) # akan menjadi tidak rasional.

Saya sedar bahawa bukti ini mungkin kelihatan agak panjang, tetapi ia menggunakan konsep penting matematik. Mungkin dalam mana-mana kurikulum sekolah tinggi, jenis pemikiran ini tidak termasuk (saya tidak 100% pasti, saya tidak tahu kurikulum setiap sekolah menengah di dunia), tetapi untuk matematik sebenar, membuktikan barangan adalah salah satu daripada aktiviti paling penting yang mereka lakukan. Oleh itu saya ingin menunjukkan kepada anda apa jenis matematik di belakang mengambil akar kuadrat perkara. Apa yang anda perlukan untuk mengambil dari ini, sudah tentu #sqrt (21) # adalah nombor tidak rasional.