Apakah arti penting derivatif separa? Berikan contoh dan bantu saya memahami secara ringkas.

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Saya harap ia membantu.

Derivatif separa secara intrinsik dikaitkan dengan jumlah variasi.

Katakan kami mempunyai fungsi #f (x, y) # dan kami ingin tahu betapa berbezanyanya apabila kami memperkenalkan kenaikan kepada setiap pembolehubah.

Memperbaiki idea, membuat #f (x, y) = k x y # kita mahu tahu berapa banyaknya

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

Dalam contoh-contoh kami, kami ada

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

dan kemudian

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Memilih #dx, dy # sewenang-wenang kecil kemudian #dx dy approx 0 # dan kemudian

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

tetapi secara amnya

f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy +

(X + dx, y + dy) -f (x + dy) -f (x, y + dy), y)) / dy dy #

sekarang buat #dx, dy # sewenang-wenang kecil kita ada

(x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

jadi kita boleh mengira jumlah variasi untuk fungsi tertentu, dengan mengira derivatif separa #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # dan pengkompaunan

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Di sini, kuantiti #f_ (x_i) # disebut derivatif separa dan juga boleh diwakili sebagai

# (separa f) / (separa x_i) #

Dalam contoh kami

#f_x = (parsial f) / (parsial x) = k x # dan

#f_y = (separa f) / (separa y) = k y #

CATATAN

(x, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0) 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

(x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0) 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Untuk menambah jawapan Cesareo di atas, saya akan menyediakan takrif pengenalan ketat secara matematik.

Derivatif separa, bercakap panjang, memberitahu kita berapa banyak fungsi pelbagai variabel akan berubah apabila memegang pembolehubah lain tetap. Contohnya, katakan kami diberikan

#U (A, t) = A ^ 2t #

Di mana # U # adalah kegunaan (kebahagiaan) fungsi produk tertentu, # A # adalah jumlah produk, dan # t # adalah masa produk digunakan.

Katakan syarikat yang mengeluarkan produk tersebut ingin tahu berapa banyak lagi utiliti yang mereka dapat keluar jika ia meningkatkan jangka hayat produk dengan 1 unit. Derivatif separa akan memberitahu syarikat ini nilai ini.

Derivatif separa biasanya dilambangkan oleh huruf kecil huruf delta (# separa #), tetapi terdapat notasi lain. Kami akan menggunakannya # separa # untuk sekarang.

Sekiranya kami cuba untuk mengetahui sejauh mana utiliti produk berubah dengan peningkatan 1 unit dalam masa, kami mengira derivatif utiliti separa berkenaan dengan masa:

# (partialU) / (partialt) #

Untuk mengira PD, kita memegang pembolehubah lain yang tetap. Dalam kes ini, kami merawatnya # A ^ 2 #, pembolehubah lain, seolah-olah ia adalah nombor. Ingatlah dari kalkulus pengantar bahawa terbitan masa malar pembolehubah hanyalah pemalar. Idea yang sama di sini: terbitan (sebahagian) daripada # A ^ 2 #, masa yang tetap # t #, pembolehubah itu, hanya pemalar:

# (partialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Oleh itu, peningkatan 1 unit pada masa produk dihasilkan # A ^ 2 # lebih banyak utiliti. Dengan kata lain, produk menjadi lebih memuaskan jika ia dapat digunakan lebih kerap.

Terdapat banyak lagi yang boleh dikatakan mengenai derivatif separa - sebenarnya, semua kursus sarjana dan siswazah boleh ditumpukan untuk menyelesaikan hanya beberapa jenis persamaan yang melibatkan derivatif separa - tetapi idea asas adalah bahawa derivatif separa memberitahu kita berapa banyak perubahan berubah apabila yang lain tetap sama.