Apakah antiderivat 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Jawapan:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Penjelasan:

Jadi di sini kita mempunyai integral:

#int1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Dan bentuk timbal balik kuadratik seolah-olah menunjukkan bahawa penggantian trigonometri akan berfungsi di sini. Oleh itu, selesaikan dahulu kuadrat untuk mendapatkan:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Kemudian gunakan penggantian #u = x-1 # untuk membuang linear:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Oleh itu, kita boleh mengubah pembolehubah dengan selamat tanpa kesan sampingan yang tidak diingini:

#int1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Kini, ini adalah bentuk yang sesuai untuk melaksanakan penggantian trigonometri; # u ^ 2 + 1 # mencadangkan Identiti Pythagorean # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, jadi kami menerapkan penggantian #u = tantheta # untuk memudahkan penyebut:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Jadi integral menjadi:

#int1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Kini, kami menggunakan formula dua sudut untuk # cos # untuk membuat antidivatif ini lebih mudah diurus:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Kemudian masukkannya ke dalam yang tidak penting:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (dan buka semula ini dengan formula dua sudut untuk # sin #)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Sekarang, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Akhirnya, sampai ke tahap:

#int1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #