Berbeda dan memudahkan sila tolong?

Jawapan:

# x ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Penjelasan:

Ekspres # x ^ tanx # sebagai kuasa e:

# x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = d / dxe ^ (lnxtanx) #

Menggunakan peraturan rantai, # d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # di mana # u = lnxtanx # dan # d / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

Ekspres # e ^ (lnxtanx) # sebagai kuasa x:

# e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Gunakan peraturan produk, # d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, di mana # u = lnx # dan # v = tanx #

# = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

Derivat # tanx # adalah # sec ^ 2x #

# = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) #

Derivatif # lnx # adalah # 1 / x #

# = x ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Jawapan:

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Penjelasan:

Kita akan menggunakan pembezaan logaritmik - iaitu, kita akan mengambil log semula jadi dari kedua-dua pihak dan membezakan secara tersirat w.r.t # x #

Diberikan: # y = x ^ tan (x) #

Ambil log semulajadi (# ln #) kedua-dua pihak:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Memohon peraturan kuasa log semulajadi #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Berbeza kedua-dua pihak secara tersirat w.r.t # x #

# 1 / y * dy / dx = warna (biru) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Lihat kerja di bawah)

Untuk membezakan RHS, kita perlu menggunakan peraturan produk!

Kami ada # d / dx tan (x) * ln (x) #

Biarkan #f (x) = tan (x) # dan #g (x) = ln (x) #

Oleh itu, #f '(x) = sec ^ 2 (x) # dan #g '(x) = 1 / x #

Dengan peraturan produk: # d / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x)

Penggantian yang kita dapat:

(x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Memudahkan …

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Kembali kepada apa yang telah kita ada sebelumnya:

# 1 / y * dy / dx = sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Kami mahu mengasingkan # dy / dx # jadi kita banyakkan kedua belah pihak # y #

(x) + tan (x) / x) * warna (merah) y #

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * warna (merah) y #

Kami mahu menulis segala-galanya dari segi # x # tetapi kita mempunyai ini #color (merah) y # dalam perjalanan. Anda mungkin ingat bahawa #color (merah) y # telah diberikan kepada kita pada mulanya. #color (merah) (y = x ^ tan (x)) #

(x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #