Selesaikan (y + 2 / y) ^ 2 + 3y + 6 / y = 4?

Jawapan:

#y = -2 + -sqrt (2), "" 1/2 + - (sqrt (7) i) / 2 #

Diberikan: # (y + 2 / y) ^ 2 + 3y + 6 / y = 4 #

Ini adalah salah satu cara untuk menyelesaikannya. Guna # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

# y ^ 2 + 2cancel (y) (2 / cancel (y)) + 4 / y_2 + 3y + 6 / y = 4 #

# y ^ 2 + 4 + 4 / y_2 + 3y + 6 / y = 4 #

Maju kedua belah pihak # y ^ 2 # untuk menghapuskan pecahan:

# y ^ 4 + 4y ^ 2 + 4 + 3y ^ 3 + 6y = 4y ^ 2 #

Tambah seperti istilah dan masukkan dalam urutan menurun:

# y ^ 4 + 3y ^ 3 + 6y + 4 = 0 #

Faktor:

Tidak boleh menggunakan pemfaktoran kumpulan.

Guna # (y ^ 2 + ay + b) (y ^ 2 + cy + d) = y ^ 4 + 3y ^ 3 + 6y + 4 #

# y ^ 4 + (a + c) y ^ 3 + (d + ac + b) y ^ 2 + (ad + bc) y + bd = y ^ 4 + 3y ^ 3 + 6y + 4 #

Menyelesaikan sistem:

#a + c = 3 "" # pekali # y ^ 3 # terma

#d + ac + b = 0 "" # kerana tidak ada # y ^ 2 # terma

#ad + bc = 6 "" # pekali # y # terma

#bd = 4 #

Mulakan dengan kemungkinan untuk #bd = (2, 2), (4, 1), (1, 4) #

Jika #b = 2, d = 2 #, kemudian dari persamaan ke-2: #ac = -4 #

Cuba #a = -1, c = 4 "" # berfungsi untuk semua persamaan!

Diperkatakan: # "" (y ^ 2 - y + 2) (y ^ 2 + 4y + 2) = 0 #

Selesaikan setiap trinomial sama ada dengan melengkapkan segi empat atau menggunakan formula kuadrat:

# y ^ 2 - y + 2 = 0; "" y ^ 2 + 4y + 2 = 0 #

#y = (1 + - sqrt (1-4 (1) (2))) / 2; "" y = (-4 + - sqrt (16-4 (1) (2))) / 2 #

#y = (1 + - sqrt (7) i) / 2; "" y = -2 + -sqrt (8) / 2 = -2 + - sqrt (2) #

# y_1 = (1 + isqrt7) / 2 #, # y_2 = (1-isqrt7) / 2 #, # y_3 = -2 + sqrt2 # dan # y_4 = -2-sqrt2 #

# (y + 2 / y) ^ 2 + 3y + 6 / y = 4 #

# (y + 2 / y) ^ 2 + 3 * (y + 2 / y) = 4 #

Selepas menetapkan # x = y + 2 / y #, persamaan ini menjadi

# x ^ 2 + 3x = 4 #

# x ^ 2 + 3x-4 = 0 #

# (x + 4) * (x-1) = 0 #, jadi # x_1 = 1 # dan # x_2 = -4 #

#a) # Untuk # x = 1 #, # y + 2 / y = 1 #

# y ^ 2 + 2 = y #

# y ^ 2-y + 2 = 0 #, akibatnya # y_1 = (1 + isqrt7) / 2 # dan # y_2 = (1-isqrt7) / 2 #

#b) # Untuk # x = -4 #,

# y + 2 / y = -4 #

# y ^ 2 + 2 = -4y #

# y ^ 2 + 4y + 2 = 0 #, akibatnya # y_3 = -2 + sqrt2 # dan # y_4 = -2-sqrt2 #