Jawapan:
Sudah dijawab di sini.
Penjelasan:
Anda perlu mencari pertama # sin18 ^ @ #, yang perinciannya boleh didapati di sini.
Kemudian anda boleh dapatkan # cos36 ^ @ # seperti yang ditunjukkan di sini.
Jawapan:
Kami menyelesaikannya #cos (2 theta) = cos (3 theta) # atau # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # untuk # x = cos 144 ^ circ # dan dapat #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
Penjelasan:
Kita mendapatkan #cos 36 ^ circ # sedikit secara tidak langsung dari formula sudut dua dan tiga untuk kosinus. Ia agak sejuk bagaimana ia dilakukan, dan mempunyai kejutan yang berakhir.
Kami akan memberi tumpuan #cos 72 ^ circ #. Sudut # theta = 72 ^ circ # memuaskan
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
Mari selesaikan bahawa # theta #, menarik balik #cos x = cos a # mempunyai penyelesaian #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # atau # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
Ini termasuk # 360 ^ pusingan k # jadi kita boleh menggugurkan bahagian "atau".
Saya tidak menulis misteri di sini (walaupun berakhir mengejutkan) jadi saya akan menyebutnya #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # juga merupakan penyelesaian yang sah dan kita melihat bagaimana ia berkaitan dengan soalan itu.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Sekarang mari # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Kami tahu # x = cos (0 times 72 ^ circ) = 1 # adalah penyelesaiannya # (x-1) # adalah faktor:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Kuadrat mempunyai akar
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Yang positif mestilah #cos 72 ^ circ # dan yang negatif #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Itulah jawapannya. Kejutannya ialah separuh daripada Nisbah Emas!
