Buktikan ((1 + cos2 x + i sin2 x) / (1 + cos2 x - i sin2 x)) ^ n = cos2nx + isin2nx?

Buktikan ((1 + cos2 x + i sin2 x) / (1 + cos2 x - i sin2 x)) ^ n = cos2nx + isin2nx?
Anonim

Jawapan:

Penjelasan di bawah

Penjelasan:

# (1 + cos2x + isin2x) / (1 + cos2x-isin2x) #

=# 2 (cosx) ^ 2 + 2i * sinx * cosx / 2 (cosx) ^ 2-2i * sinx * cosx #

=# 2cosx * (cosx + isinx) / 2cosx * (cosx-isinx) #

=# (cosx + isinx) / (cosx-isinx) #

=# (cosx + isinx) ^ 2 / (cosx-isinx) * (cosx + i * sinx) #

=# (cosx) ^ 2- (sinx) ^ 2 + 2i * sinx * cosx / (cosx) ^ 2 + (sinx) ^ 2 #

=# (cos2x + isin2x) / 1 #

=# cos2x + isin2x #

Oleh itu, # (1 + cos2x + isin2x) / (1 + cos2x-isin2x) ^ n #

=# (cos2x + isin2x) ^ n #

=#cos (2nx) + isin (2nx) #

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

# 1 + e ^ (i2x) = e ^ (ix) (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) #

# 1 + e ^ (- i2x) = e ^ (- ix) (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) # jadi

(1 + e ^ (i2x)) / (1 + e ^ (- i2x))) ^ n = (e ^ (i2x)) ^ n = e ^ (i2nx) = cos (2nx)) #

CATATAN

Kami menggunakan identiti de Moivre

# e ^ (i phi) = cos phi + i sin phi #