Apakah domain & julat fungsi: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)?

Jawapan:

Domain adalah # (- ya, ya) # dan julatnya #0, 1/2#

Penjelasan:

Diberikan:

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Perhatikan bahawa untuk sebarang nilai sebenar # x #, penyebut # 1 + x ^ 4 # tidak sifar.

Oleh itu #f (x) # didefinisikan dengan baik untuk sebarang nilai sebenar # x # dan domainnya adalah # (- ya, ya) #.

Untuk menentukan julat, biarkan:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Maju kedua hujung dengan # 1 + x ^ 4 # untuk mendapatkan:

#y x ^ 4 + y = x ^ 2 #

Mengurangkan # x ^ 2 # dari kedua-dua pihak, kita boleh menulis semula ini sebagai:

#y (x ^ 2) ^ 2- (x ^ 2) + y = 0 #

Ini hanya akan mempunyai penyelesaian sebenar jika diskriminasinya tidak negatif. Meletakkan # a = y #, # b = -1 # dan # c = y #, diskriminasi # Delta # diberikan oleh:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (y) (y) = 1-4y ^ 2 #

Jadi kita memerlukan:

# 1-4y ^ 2> = 0 #

Oleh itu:

# y ^ 2 <= 1/4 #

Jadi # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

Di samping itu ambil perhatian bahawa #f (x)> = 0 # untuk semua nilai sebenar # x #.

Oleh itu # 0 <= y <= 1/2 #

Jadi julat #f (x) # adalah #0, 1/2#