Apakah pilihan yang betul dari soalan yang diberikan? ps - saya mendapat 98 sebagai jawapan tetapi ia tidak betul (? idk mungkin jawapan yang diberikan di bahagian belakang adalah salah, anda juga boleh melihat dan menyemak semula penyelesaian saya, saya telah melampirkan penyelesaian di bawah soalan)

Jawapan:

#98# adalah jawapan yang betul.

Penjelasan:

Diberikan:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

Pembahagian oleh #4# kita dapati:

# x ^ 3-7 / 4x ^ 2 + 0x + 1/4 #

# = (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3 (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

Jadi:

# {(alpha + beta + gamma = 7/4), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = 0), (alphabetagamma = -1/4):} #

Jadi:

#49/16 = (7/4)^2-2(0)#

#color (putih) (49/16) = (alpha + beta + gamma) ^ 2-2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) #

#color (putih) (49/16) = alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

dan:

#7/8 = 0 - 2(-1/4)(7/4)#

#color (putih) (7/8) = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alpha + beta + gamma) #

#color (putih) (7/8) = alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2 #

Jadi:

#49/128 = (7/8)^2-2(-1/4)^2(49/16)#

#color (putih) (49/128) = (alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2) ^ 2-2 (alphabetagamma) ^ 2 (alpha ^ 2 + beta ^ 2) #

#color (putih) (49/128) = alpha ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^ 4 #

Jadi:

#alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) = (alpha ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^

#color (putih) (alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (- 1/4) ^ 4 #

#color (putih) (alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (1/256) #

#color (putih) (alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = 98 #

Jawapan:

#98#

Penjelasan:

Sebagai alternatif, sebagai pemeriksaan tambahan, perhatikan bahawa akar:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

adalah kebalikan dari akar:

# x ^ 3-7x + 4 = 0 #

Jadi kita boleh jumpa # alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 # untuk akar kubik ini untuk dikira #alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) # untuk akar kubik asal.

Diberikan:

# x ^ 3 + 0x ^ 2-7x + 4 #

# = (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3 (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

Kita dapati:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -7), (alphabetagamma = 4):} #

Jadi:

# alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

# = (alpha + beta + gamma) ^ 2-2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) = 0-2 (-7) = 14 #

# alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2 #

# = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alpha + beta + gamma) = (-7) ^ 2-2 (4) (0) = 49 #

# alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 #

# = (alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2) ^ 2-2 (alpha ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2) = 14 ^ 2-2 (49) = 196- 98 = 98 #