Apa -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) sama?

Jawapan:

Masalah tidak dapat ditanggung

Penjelasan:

Tiada arka yang cosine mereka adalah sama dengan 2 dan 3.

Dari sudut pandang analitik, yang # arccos # fungsi hanya didefinisikan pada #-1,1# jadi #arccos (2) # & #arccos (3) # tidak wujud.

Jawapan:

Untuk Real # cos # dan # sin # ini tidak mempunyai penyelesaian, tetapi sebagai fungsi nombor Kompleks yang kita dapati:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Penjelasan:

Oleh kerana nilai fungsi Real dihargai oleh Real # x #, fungsi #cos (x) # dan #sin (x) # hanya ambil nilai dalam julat #-1, 1#, jadi #arccos (2) # dan #arccos (3) # tidak jelas.

Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk memperluaskan definisi fungsi ini kepada fungsi Kompleks #cos (z) # dan #sin (z) # seperti berikut:

Bermula dengan:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

kita boleh menyimpulkan:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Oleh itu, kita dapat menentukan:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

untuk mana-mana nombor Kompleks # z #.

Adalah mungkin untuk mencari pelbagai nilai # z # yang memuaskan #cos (z) = 2 # atau #cos (z) = 3 #, jadi mungkin terdapat beberapa pilihan untuk menentukan nilai utama #arccos (2) # atau #arccos (3) #.

Untuk mencari calon yang sesuai, selesaikan # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, dan lain-lain.

Walau bagaimanapun, perhatikan bahawa identiti # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # memegang mana-mana nombor Kompleks # z #, jadi kita boleh menyimpulkan:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Saya berharap dapat menentukan nilai prinsipal dengan cara itu #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # bukannya # -sqrt (3) i #.

Walau bagaimanapun, #cos (arccos (3)) = 3 # mengikut definisi.

Meletakkan ini bersama-sama, kita dapati:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #