Daya yang dikenakan terhadap objek yang bergerak secara mendatar pada laluan linear digambarkan oleh F (x) = x ^ 2-3x + 3. Dengan berapa banyak tenaga kinetik berubah apabila objek bergerak dari x dalam [0, 1]?

Jawapan:

Undang-undang gerakan Newton kedua:

# F = m * a #

Takrif pecutan dan halaju:

# a = (du) / dt #

# u = (dx) / dt #

Tenaga kinetik:

# K = m * u ^ 2/2 #

Jawapannya ialah:

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Penjelasan:

Undang-undang gerakan Newton kedua:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

Penggantian # a = (du) / dt # tidak membantu dengan persamaan, sejak # F # tidak diberikan sebagai fungsi # t # tetapi sebagai fungsi # x # Walau bagaimanapun:

# a = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Tetapi # (dx) / dt = u # jadi:

# a = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Dengan menggantikan persamaan yang kita ada, kita mempunyai persamaan kebezaan:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (x ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m *

Kedua-dua kelajuan tidak diketahui tetapi kedudukannya # x # diketahui. Juga, jisim adalah malar:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2)

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

- (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Tetapi # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Catatan: unit adalah # kg * m ^ 2 / s ^ 2 # hanya jika jarak diberikan # (x dalam 0,1) # berada dalam meter.