Jumlah kuadrat dua nombor berturut-turut ialah 390. Bagaimana anda merumuskan persamaan kuadratik untuk mencari dua nombor?

Jawapan:

Kuadrat adalah # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Ini tidak mempunyai penyelesaian integer.

Tidak juga jumlah kotak bagi mana-mana dua bulat sama dengan #390#.

Jumlah kotak dua integer Gaussian boleh menjadi 390.

Penjelasan:

Sekiranya kurang daripada dua nombor itu # n #, maka yang lebih besar adalah # n + 1 # dan jumlah dataran mereka ialah:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Jadi persamaan kuadrat yang akan kita selesaikan ialah:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

atau jika anda lebih suka:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Perhatikan bagaimanapun bahawa bagi mana-mana integer # n # Jumlah # 2n ^ 2 + 2n + 1 # akan menjadi ganjil, jadi tidak mungkin #390# untuk menjadi jumlah kotak dua bilah yang konsecutivie.

Bolehkah ia dinyatakan sebagai jumlah kotak bagi mana-mana dua bulat?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# bukan persegi

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# bukan persegi

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# bukan persegi

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# bukan persegi

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# bukan persegi

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# bukan persegi

Tidak - jika kita pergi lebih jauh, sisanya yang besar selepas menolak kuadrat itu tidak akan menjadi salah satu yang telah kita periksa.

#color (white) () #

Nota kaki kompleks

Adakah terdapat sepasang Gaussian integer jumlah kuadratnya #390#?

Ya.

Katakan kita boleh mencari integer Gaussian # m + ni #, bahagian sebenar datarannya #195#. Kemudian jumlah kuadrat dari integer Gaussian dan segi konjugasi kompleksnya akan menjadi penyelesaian.

Kita dapati:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Jadi kita mahu mencari bilangan bulat #m, n # seperti itu # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Nah:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Oleh itu, kita dapati:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

Satu lagi penyelesaian, datang dari fakta bahawa setiap nombor ganjil adalah perbezaan dua segi dua nombor berturut-turut ialah:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #