Soalan # 242a2

Jawapan:

Untuk tenaga yang disimpan dalam kapasitor pada masa # t # kita ada #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # di mana #E (0) # adalah tenaga permulaan, # C # kapasiti dan # R # rintangan dawai yang menyambung kedua-dua belah kapasitor.

Penjelasan:

Mari kita mulakan semula beberapa konsep teras sebelum menjawab soalan ini. Sudah tentu kita perlu tahu tenaga yang disimpan dalam kapasitor, atau tenaga yang disimpan dalam medan elektrik yang dicipta oleh cas yang disimpan dalam kapasitor. Untuk ini kami mempunyai formula # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # dengan # C # kapasiti kapasitor dan # Q # caj yang disimpan pada salah satu plat pemuat. 1

Oleh itu untuk mengetahui bagaimana tenaga berkurangan, kita perlu tahu bagaimana caj itu berkurangan. Untuk ini terdapat beberapa perkara yang perlu diingat. Perkara pertama ialah, caj itu hanya boleh berkurang jika ia boleh pergi ke mana-mana sahaja. Senario yang paling mudah adalah bahawa kedua-dua plat itu disambungkan melalui dawai, supaya plat boleh menukar caj supaya mereka menjadi neutral. Perkara kedua adalah bahawa jika kita menganggap dawai tidak mempunyai rintangan, caj itu akan dapat bergerak dengan serta-merta, jadi tenaga akan jatuh ke sifar pada kadar itu juga. Kerana ini adalah keadaan yang membosankan, dan selain itu, tidak benar-benar realistik, kami menganggap dawai itu mempunyai rintangan # R #, yang boleh kita model dengan menyambung plat kapasitor melalui perintang dengan rintangan # R # menggunakan dawai rintangan.

Apa yang kita ada sekarang ialah litar RC yang dipanggil di bawah. Untuk mengetahui bagaimana caj tersimpan berubah, kita perlu menulis beberapa persamaan kebezaan. Saya tidak pasti betapa mahir pembaca dalam matematik, jadi maklumkan kepada saya sekiranya bahagian berikut tidak jelas kepada anda, dan saya akan cuba menerangkannya secara terperinci.

Pertama sekali kita perhatikan bahawa ketika kita berjalan di sepanjang kawat, kita mengalami dua lompatan potensi elektrik (voltan), iaitu pada kapasitor dan pada perintang. Lompatan ini diberikan oleh # DeltaV_C = Q / C # dan # DeltaV_R = IR # masing-masing 1. Kami perhatikan bahawa pada mulanya tidak ada arus, jadi perbezaan potensi ke atas perintang adalah 0, namun, seperti yang akan kita lihat, akan ada arus ketika tuduhan mula bergerak. Sekarang kita perhatikan bahawa apabila kita berjalan di sekitar litar bermula dari satu titik, kita akan berakhir pada titik yang sama sekali lagi, kerana kita berada dalam litar. Pada titik tunggal ini potensi adalah sama dua kali, kerana ia adalah titik yang sama. (Apabila saya katakan kita berjalan di sepanjang litar, saya tidak bermaksud ini secara literal, sebaliknya kita memeriksa voltan melompat pada litar pada satu titik dalam masa, jadi tidak ada masa berlalu ketika berjalan di sepanjang litar, oleh itu hujah memegang, walaupun perubahan voltan dalam masa.)

Ini bermakna bahawa jumlah lompatan potensi adalah sifar. Jadi # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Sekarang kita berfikir tentang apa # I #, sekarang adalah. Semasa adalah caj bergerak, ia mengambil alih positif dari satu plat kapasitor dan menyampaikan kepada yang lain. (Sebenarnya kebanyakan masa itu adalah sebaliknya, tetapi tidak penting bagi matematik masalah ini.) Ini bermakna bahawa semasa adalah sama dengan perubahan yang dikenakan pada plat, dengan kata lain # I = (dQ) / dt #. Penggantian ini dalam persamaan di atas memberikan kita # (dQ) / dtR + Q / C = 0 #, yang bermaksud # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. Ini adalah persamaan pembezaan urutan liniar yang disebut dahulu. Ia menentukan perubahan dalam pertuduhan dengan nilai caj pada masa itu dalam cara linear, yang bermaksud bahawa jika pertuduhan itu dua kali lebih besar, perubahan caj itu akan dua kali lebih besar juga. Kita boleh menyelesaikan persamaan ini dengan menggunakan kalkulus bijak.

# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, kita anggap # Qne0 #, yang pada awalnya bukan, dan kerana ia akan berubah, ia tidak akan menjadi. Menggunakan ini kita boleh katakan # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Untuk tahu # Q # pada satu ketika # t # (Dalam kata lain #Q (t) #, kami mengintegrasikan persamaan seperti berikut: # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t-1 / (CR) dt '= - t / (CR) sejak # C # dan # R # adalah pemalar. (int (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # melalui perubahan pembolehubah. Ini bermaksud #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, jadi #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Akhir sekali, kita perlu menggantikan ini dengan persamaan untuk tenaga:

C (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Jadi tenaga turun secara eksponen melalui masa. Sesungguhnya kita melihat bahawa jika # R # adalah pergi ke sifar, #E (t) # akan pergi ke 0 dengan serta-merta.

1 Griffiths, David J. Pengenalan kepada Electrodynamics. Edisi keempat. Pearson Education Limited, 2014