Matematik memperoleh akar warna (putih) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Jawapan:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # untuk #n = 0, 1, 2 #

Penjelasan:

Diberikan:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Penggantian trigonometri

Sejak kubik ini ada #3# sifar sebenar, kaedah Cardano akan menghasilkan ungkapan yang melibatkan akar kiub yang tidak dapat diprediksi nombor kompleks. Kaedah Cardano tidak salah, tetapi ia tidak begitu mesra, kecuali akar kubus mempunyai bentuk yang mudah.

Sebagai alternatif dalam kes sedemikian, saya akan memilih untuk menggunakan penggantian trigonometri.

Katakanlah:

#x = k cos theta #

Silap mata adalah untuk memilih # k # seperti ungkapan yang dihasilkan # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Kami ada:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (putih) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (putih) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (putih) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # dengan # k = 2 #

#color (putih) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Jadi:

#cos 3 theta = 1/2 #

Jadi:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # untuk sebarang integer # n #

Jadi:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # untuk sebarang integer # n #

Ini akan memberi #3# nilai kemungkinan yang berbeza #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # untuk #n = 0, 1, 2 #.