Apakah akar-akar rasional yang mungkin x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Jawapan:

Quintik ini tidak mempunyai akar rasional.

Penjelasan:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Dengan teorem akar rasional, mana-mana sifar #f (x) # boleh diungkapkan dalam bentuk # p / q # untuk bilangan bulat #p, q # dengan # p # seorang pembahagi terma tetap #-12# dan # q # seorang pembahagi pekali #1# daripada istilah utama.

Ini bermakna bahawa hanya mungkin rasional sifar adalah:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Perhatikan bahawa #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # mempunyai semua pekali negatif. Oleh itu #f (x) # tidak mempunyai nol negatif.

Jadi satu-satunya yang mungkin rasional sifar adalah:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Menilai #f (x) # bagi setiap nilai ini, kita mendapati tiada adalah sifar. Jadi #f (x) # tidak mempunyai rasional sifar.

Bersamaan dengan kebanyakan kuintik dan polinomial yang lebih tinggi, nol tidak boleh dinyatakan dari segi # n #akar atau fungsi asas, termasuk fungsi trigonometri.

Anda boleh menggunakan kaedah berangka seperti Durand-Kerner untuk mencari anggaran:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0.640414 + -0.877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0.716229 + -0.587964i #