Selesaikan e ^ x-lnx <= e / x?

Jawapan:

jadi penyelesaian ketidaksamaan ini menjadikannya benar # x dalam (0.1 #

Penjelasan:

pertimbangkan #f (x) = e ^ x-lnx-e / x #, kita ada

#f '(x) = e ^ x-1 / x + e / x ^ 2 #

berhujah itu #f '(x)> 0 # untuk semua x sebenar dan membuat kesimpulan bahawa itu #f (1) = 0 #

#f (1) = e-ln1-e = 0 #

pertimbangkan had f sebagai x pergi ke 0

#lim_ (xrarr0) e ^ x-lnx-e / x #

#lim_ (xrarr0 ^ +) e ^ x-lnx-e / x = -oo #

Dalam erti kata lain, dengan menunjukkan #f '(x)> 0 # anda menunjukkan bahawa fungsi itu semakin meningkat, dan jika #f (1) = 0 # itu bermakna itu #f (x) <0 #

untuk #x <1 # kerana fungsi sentiasa berkembang.

dari definisi # lnx #

# lnx # ditakrifkan untuk setiap #x> 0 #

dari definisi # e ^ x #

# e ^ x # ditakrifkan untuk setiap #x> = 0 #

tetapi # e / x = e / 0 # undefined

jadi penyelesaian ketidaksamaan ini menjadikannya benar # x dalam (0.1 #