Apakah yang dimaksudkan dengan sqrt (3 + i) dalam bentuk + bi?

Jawapan:

(sqrt (10 + -3) / 2)) i #

Anggaplah # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Jadi menyamakan bahagian sebenar dan khayalan yang kita dapat:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Oleh itu #b = 1 / (2a) #, yang mana kita boleh menggantikan persamaan pertama untuk mendapatkan:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Maju kedua hujung dengan # 4a ^ 2 # untuk mendapatkan:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Jadi:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Daripada formula kuadrat yang kami dapat:

8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Sejak #sqrt (10)> 3 #, pilih #+# tanda untuk mendapatkan nilai Nyata # a #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

di mana # b # mempunyai tanda yang sama seperti # a # sejak #b = 1 / (2a) #

Aksara kuadrat utama adalah dalam Q1 dengan #a, b> 0 #

Itu dia:

(sqrt (10 + -3) / 2)) i #

Malah, jika #c, d> 0 # maka kita juga dapat menunjukkan:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2)) i #