Jawapan:
Lihat penjelasan
Penjelasan:
Biarkan # a = p / q # di mana # p # dan # q # adalah integer positif.
# 1ltp / q # Oleh itu # qltp #. # p / qlt2 # Oleh itu # plt2q #. Oleh itu # qltplt2q #.
(p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 /
# (q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) #*
# (2q) ^ 2 / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2) #
# (4q ^ 2) / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2) #
# 4lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2 #
# 4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2 #
# 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
# 5 / 2lt6 / 2 #
# 5 / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
~~ Lebih banyak topik lanjutan di hadapan ~~
* Ini mengandaikan bahawa sebagai # p # kenaikan, # (p + q) ^ 2 / (pq) # kenaikan. Ini boleh disahkan dengan intuitif, dengan melihat graf # y = (x + q) ^ 2 / (xq) # pada #x dalam (q, 2q) # untuk pelbagai nilai positif # q #, atau melalui proses kalkulus di bawah.
~
# del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (delp) p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (p (P + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) #.
Pada #p dalam (q, 2q) #:
Sejak # pgtqgt0 #, # p ^ 2gtq ^ 2 # Oleh itu # p ^ 2-q ^ 2gt0 #.
Sejak #q> 0 #, # p ^ 2qgt0 #
Sejak # p ^ 2-q ^ 2gt0 # dan # p ^ 2qgt0 #, # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #
Sejak # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) # dan # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #, # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0 #
Oleh itu # (p + q) ^ 2 / (pq) # semakin meningkat untuk berterusan # q # dan # qltplt2q # kerana # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) # adalah positif.
~~~~
Jawapan:
Dalam perihalan
Penjelasan:
Di sini kekangan (1):
# 1 <a <2 #
Kekangan (2):
Dengan teorem salingan, # 1/1> 1 / a> 1/2 #
# 1> a> 1/2 #
Dalam kekangan 1 tambahkan 1 pada kedua-dua pihak, # 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
#color (merah) (a + 1 <3) #
Dalam kekangan yang sama menambah 1/2
# (1 + 1/2) <(a + 1/2) <(2 + 1/2) #
Sekali lagi ambil perhatian bahawa, #2 <2+1/2#
Jadi # a + 1/2 # mestilah kurang daripada 2
#color (merah) (a + 1/2) <2 #
Oleh itu Dalam kekangan 2, # 1> a> 1/2 #
Tambah pada kedua-dua belah pihak, # 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
Kami melakukannya begitu kerana # a + 1 <3 #
Jadi # a + 1 / a # mestilah kurang daripada 3.
Sekali lagi # a + 1/2 <2 # tetapi dalam kekangan ini # a + 1 / a> a + 1/2 #
Jadi, # a + 1 / a # mestilah lebih besar daripada 2.
Oleh itu, # 1> 1 / a> 1 2 #
Dengan menambah pada kedua-dua belah pihak, # 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # terbukti
