Buktikan bahawa bilangan sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) tidak rasional untuk mana-mana nombor semula jadi n lebih besar daripada 1?

Jawapan:

Lihat penjelasan …

Penjelasan:

Katakan:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # adalah rasional

Kemudian kuadratnya mesti rasional, iaitu:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

dan oleh kerana itu adalah:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Kami boleh berulang kali dan kurangi untuk mendapati bahawa perkara berikut mesti rasional:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Oleh itu # n = k ^ 2 # untuk beberapa integer positif #k> 1 # dan:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Perhatikan bahawa:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Oleh itu # k ^ 2 + k-1 # bukan persegi integer sama ada dan #sqrt (k ^ 2 + k-1) # tidak masuk akal, bertentangan dengan dakwaan kami #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # adalah rasional.

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Anggap

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # dengan # p / q # tidak boleh diperbaharui yang kami ada

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

yang tidak masuk akal, kerana menurut hasil ini, sebarang punca kuadrat integer positif adalah rasional.