Tolong bantu. Saya tidak pasti bagaimana untuk melakukan ini dengan cepat tanpa mendaratkan semuanya?

Jawapan:

Jawapan kepada (i) adalah #240#.

Jawapan kepada (ii) adalah #200#.

Penjelasan:

Kita boleh melakukan ini dengan menggunakan Segitiga Pascal, ditunjukkan di bawah.

(i)

Sejak eksponen itu #6#, kita perlu menggunakan baris keenam dalam segitiga, yang termasuk #color (ungu) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # dan #color (ungu) 1 #. Pada asasnya, kami akan menggunakannya #color (biru) 1 # sebagai istilah pertama dan #color (merah) (2x) # sebagai yang kedua. Kemudian, kita boleh membuat persamaan berikut. Eksponen terma pertama meningkat oleh #1# setiap kali dan eksponen tempoh kedua berkurangan mengikut #1# dengan setiap istilah dari segitiga.

(warna (ungu) 1 * warna (biru) (1 ^ 0) * warna (merah) ((2x) ^ 6) (warna merah) 15 * warna (biru) (1 ^ 2) * warna (merah) ((2x) ^ 4) biru) (1 ^ 3) * warna (merah) ((2x) ^ 3)) + (warna (ungu) 15 * warna (biru) * (warna (ungu) 6 * warna (biru) (1 ^ 5) * warna (merah) ((2x) ^ 1) merah) ((2x) ^ 0)) #

Kemudian, kita boleh menyederhanakannya.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Oleh itu, pekali # x ^ 4 # adalah #240#.

(ii)

Kita sudah tahu perkembangannya # (1 + 2x) ^ 6 #. Sekarang, kita boleh melipatgandakan kedua-dua ungkapan bersama.

#color (coklat) (1 x (1/4)) * warna (oren) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1)

Pekali # x # dalam # 1-x (1/4) # adalah #1#. Jadi, kita tahu bahawa ia akan meningkatkan nilai-nilai eksponen dalam ungkapan lain oleh #1#. Kerana kita memerlukan pekali # x ^ 4 #, kita hanya perlu membiak # 160x ^ 3 # oleh # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Sekarang, kita perlu menambahnya # 240x ^ 4 #. Ini adalah salah satu daripada penyelesaian # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, disebabkan pendaraban oleh #1#. Ia penting kerana ia juga mempunyai eksponen #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Oleh itu, pekali adalah #200#.

Jawapan:

i. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Penjelasan:

Perkembangan binomial untuk # (a + bx) ^ c # boleh diwakili sebagai:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Untuk bahagian 1 kita hanya perlu bila # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Untuk bahagian 2, kami juga memerlukan # x ^ 3 # kerana jangka masa # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #