Apakah halaju dari zarah untuk t = 0 hingga t = 10 whos percepatan adalah veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Jawapan:

Halaju purata: # 6.01 xx 10 ^ 3 # #"Cik"#

Velocity pada masa #t = 0 # # "s" #: #0# #"Cik"#

Velocity at #t = 10 # # "s" #: # 2.40 xx 10 ^ 4 # #"Cik"#

Penjelasan:

Saya akan mengandaikan anda maksudkan halaju purata dari #t = 0 # kepada #t = 10 # # "s" #.

Kami diberikan komponen pecutan zarah itu, dan diminta untuk mencari halaju purata lebih dahulu #10# saat gerakannya:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

di mana

#v_ "av" # adalah magnitud halaju purata, dan
# Deltar # adalah perubahan postion objek (dari #0# # "s" # kepada #10# # "s" #).

Oleh itu, kita mesti mencari kedudukan objek pada dua kali ini.

Kita perlu memperoleh persamaan kedudukan dari persamaan percepatan ini, dengan mengintegrasikannya dua kali:

Integrasi Pertama:

#vecv = (t ^ 3) hat + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (halaju)

Integrasi kedua:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hat + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (kedudukan)

Kedudukan awal diasumsikan berada di asal, jadi mari kita pasangkan #10# untuk # t # dalam persamaan kedudukan:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Kita boleh membahagi persamaan halaju purata ke dalam komponen:

#v_ "av-x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = #color (merah) ("m / s" #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "m") / (10 "s") = #color (biru) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = #color (green) ("m / s" #

Menggunakan komponen ini, kita dapat mencari magnitud dari vektor halaju purata:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2)

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2)

# = warna (ungu) (6.01 xx 10 ^ 3 # #color (ungu) ("m / s" #

(Inilah yang seketika bahagian halaju).

Untuk mencari halaju seketika pada #t = 0 # dan #t = 10 # # "s" #, mari kita pasangkan pertama kali ke persamaan halaju yang telah disepadukan sebelumnya:

#t = 0 # # "s" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hat + (5/2 (0 "s") ^ 2) hatj - (2 (0 "s") ^ 4 + #

# = warna (merah) (0 # #color (merah) ("m / s" #

#t = 10 # # "s" #

(10 "s") ^ 3) hati + (5/2 #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s") hatk #

Oleh itu, magnitud halaju ini

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2)

# = warna (biru) (2.40 xx 10 ^ 4 # #color (biru) ("m / s" #