Katakanlah integer terkecil dengan 378 pembahagi. Jika N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, apakah nilai {a, b, c, d} dalam NN?

Jawapan:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Penjelasan:

Memandangkan nombor # n # dengan pemfaktoran utama #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, setiap pembahagi # n # adalah bentuknya # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # di mana #beta_i dalam {0, 1, …, alpha_i} #. Seperti yang ada # alpha_i + 1 # pilihan untuk setiap # beta_i #, bilangan pembahagi # n # diberikan oleh

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Sebagai # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, bilangan pembahagi # N # diberikan oleh # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Oleh itu, matlamat kami adalah untuk mencari # (a, b, c, d) # supaya produk di atas memegang dan # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # adalah minimum. Seperti yang kita minimizing, kita akan mengambil alih dari titik ini seterusnya #a> = b> = c> = d # (jika ini tidak berlaku, kita boleh menukar eksponen untuk mendapatkan hasil yang lebih rendah dengan bilangan pembahagi yang sama).

Menyedari itu # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, kita boleh mempertimbangkan kemungkinan kes di mana #378# ditulis sebagai produk empat bulat # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Kita boleh memeriksa ini untuk melihat hasil yang paling sedikit # N #.

Format: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (merah) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Kita boleh berhenti di sini, kerana mana-mana kes lanjut akan ada #k_i> = 27 #, memberi # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, yang sudah lebih besar daripada kes terbaik kami.

Dengan kerja di atas, maka, # (a, b, c, d) # yang menghasilkan sedikit # N # dengan #378# pembahagi adalah # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, memberi #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #