Apakah formula untuk mencari kawasan dodecagon biasa?

Jawapan:

#S _ ("dodecagon biasa") = (3 / (tan 15 ^ @)) "sisi" ^ 2 ~ = 11.196152 * "sampingan" ^ 2 #

Penjelasan:

Berfikir tentang dodecagon biasa yang tertulis dalam bulatan, kita dapat melihat bahawa ia dibentuk oleh 12 segitiga isosceles yang sisinya adalah radius bulatan, radius bulatan dan sisi dodecagon; dalam setiap segitiga ini sudut yang bertentangan dengan sisi dodecagon adalah sama dengan #360^@/12=30^@#; kawasan masing-masing segitiga ini # ("sisi" * "ketinggian) / 2 #, kita hanya perlu menentukan ketinggian tegak lurus ke sisi dodecagon untuk menyelesaikan masalah.

Dalam segitiga isoscel yang disebutkan, asasnya ialah sisi dodecagon dan sisi yang sama adalah jejari bulatan, yang sudutnya menentang pangkalan (# alpha #) adalah sama dengan #30^@#, hanya ada garis yang diambil dari puncak di mana radii bulatan bertemu (titik C) yang memintas secara serentak sisi dodecagon: garis ini membelah sudut # alpha # serta mendefinisikan ketinggian segitiga antara titik C dan titik di mana pangkalan dipintas (titik M), dan juga membahagikan asas dalam dua bahagian yang sama (semua kerana dua segitiga yang lebih kecil yang dibentuk adalah kongruen).

Oleh kerana kedua-dua segitiga yang lebih kecil disebutkan adalah yang betul kita boleh menentukan ketinggian segitiga isosceles dengan cara ini:

#tan (alpha / 2) = "cathetus menentang" / "cathetus bersebelahan" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("sisi" / 2) / "ketinggian" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Kemudian kita ada

== * (segi tiga) = 12 * (("sisi") ("ketinggian")) / 2 = 6 * ("sisi") ("sampingan") / (2 * tan 15 ^) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("sampingan") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #