Jawapan:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Penjelasan:
Biarkan #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Marilah kita menganggap bahawa kita berurusan dengan nilai-nilai Nyata dan logaritma semulajadi yang sebenar.
Kemudian kita terkekang #x> 0 # supaya #ln (5x) # ditakrifkan.
Bagi apa apa #x> 0 # kedua-dua istilah adalah jelas dan sebagainya #f (x) # adalah fungsi yang jelas dengan domain # (0, oo) #.
Perhatikan bahawa # 3ln (5) # dan # x ^ 3 # kedua-dua ketinggalan monotonik yang meningkat pada domain ini jadi fungsi kami juga dan satu-ke-satu.
Untuk nilai positif kecil # x #, istilah itu # x ^ 3 # kecil dan positif dan istilahnya # 3ln (5x) # bersifat besar dan negatif sewenang-wenangnya.
Untuk nilai positif yang besar # x #, istilah itu # 3ln (5x) # adalah positif dan istilahnya # x ^ 3 # adalah sewenang-wenang dan positif.
Oleh kerana fungsi itu juga berterusan, julatnya adalah # (- ya, ya) #
Jadi untuk apa-apa nilai #y dalam (-oo, oo) # terdapat nilai unik # x dalam (0, ya) # seperti itu #f (x) = y #.
Ini mentakrifkan fungsi songsang kita:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Itu dia #f ^ (- 1) (y) # adalah nilai # x # seperti itu #f (x) = y #.
Kami telah menunjukkan (tidak rasmi) bahawa ini wujud, tetapi tiada penyelesaian algebra untuk # x # dari segi # y #.
Grafik #f ^ (- 1) (y) # adalah graf #f (x) # dicerminkan dalam baris # y = x #.
Dalam notasi yang ditetapkan:
#f = {(x, y) dalam (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) dalam RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
