Bagaimanakah anda menemui Batasan [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] sebagai x mendekati 0?

Jawapan:

Lakukan beberapa pendaraban conjugate dan memudahkan untuk mendapatkan #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Penjelasan:

Penggantian langsung menghasilkan bentuk yang tidak pasti #0/0#, jadi kita perlu mencuba sesuatu yang lain.

Cuba berlipat ganda # (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # oleh # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Teknik ini dikenali sebagai pendaraban conjugate, dan ia berfungsi hampir setiap masa. Idea ini adalah untuk menggunakan perbezaan segi dua harta # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # untuk memudahkan sama ada pengangka atau penyebut (dalam hal ini penyebut).

Ingatlah itu # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, atau # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Oleh itu, kita boleh menggantikan penyebut, iaitu # 1-cos ^ 2x #, dengan # sin ^ 2x #:

# ((sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Sekarang # sin ^ 2x # membatalkan:

# ((sinx) (membatalkan (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (membatalkan (sin ^ 2x)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

Selesai dengan mengambil had ungkapan ini:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#