Tunjukkan bahawa 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), untuk n> 1?

Jawapan:

Di bawah

Penjelasan:

Untuk menunjukkan bahawa ketidaksamaan itu benar, anda menggunakan induksi matematik

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # untuk #n> 1 #

Langkah 1: Buktikan benar untuk # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Sejak # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, kemudian #LHS> RHS #. Oleh itu, ia adalah benar # n = 2 #

Langkah 2: Asumsikan benar # n = k # di mana k adalah integer dan #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Langkah 3: Bila # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

iaitu # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # dari (1) dengan andaian

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Sejak #k> 1 #, kemudian # -1 / sqrt (k + 1) <0 # dan sejak # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, kemudian # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # jadi # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Langkah 4: Dengan bukti induksi matematik, ketidaksamaan ini adalah benar untuk semua bilangan bulat # n # lebih besar daripada #1#

Ketidaksamaan yang dinyatakan adalah palsu.

Misalnya, untuk #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (approx 2.3) batalkan (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (approx 2.8)

Satu percanggahan.