Apakah n integer terkecil seperti n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Jawapan:

# n = 8075 #

Penjelasan:

Biarkan #v_p (k) # menjadi kepelbagaian # p # sebagai faktor # k #. Itu dia, #v_p (k) # adalah integer terbesar sedemikian rupa # p ^ (v_p (k)) | k #.

Pemerhatian:

• Bagi apa apa #k dalam ZZ ^ + # dan # p # Perdana, kita ada #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Ini boleh dibuktikan dengan mudah oleh induksi)

• Untuk sebarang integer #k> 1 #, kita ada # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Ini adalah intuitif, sebagai gandaan kuasa #2# berlaku lebih kerap daripada gandaan kuasa bersamaan #5#, dan boleh dibuktikan secara bersungguh-sungguh menggunakan hujah yang sama)

• Untuk #j, k dalam ZZ ^ + #, kita ada #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # untuk mana-mana pembahagi utama # p # daripada # j #.

Prosiding, matlamat kami adalah untuk mencari integer sekurang-kurangnya # n # seperti itu # 10 ^ 2016 | n! #. Sebagai # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, maka dengan pemerhatian ketiga, kita hanya perlu mengesahkannya # 2016 <= v_2 (n!) # dan # 2016 <= v_5 (n!) #. Observasi kedua bermakna bahawa yang terakhir membayangkan bekas itu. Oleh itu, ia mencukupi untuk mencari integer sekurang-kurangnya # n # seperti itu # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Untuk mencari # n # kami akan membuat pemerhatian yang membolehkan kami mengira # v_5 (5 ^ k!) #.

Antara #1# dan # 5 ^ k #, disana ada # 5 ^ k / 5 # gandaan #5#, masing-masing menyumbang sekurang-kurangnya #1# kepada jumlah #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Terdapat juga # 5 ^ k / 25 # gandaan #25#, masing-masing menyumbang tambahan #1# kepada jumlah selepas kiraan awal. Kita boleh meneruskan dengan cara ini sehingga kita mencapai satu gandaan # 5 ^ k # (iaitu # 5 ^ k # sendiri), yang telah menyumbang # k # kali ke jumlah. Mengira jumlah dengan cara ini, kita ada

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Oleh itu, kita dapati itu # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Akhirnya, kita akan dapati # n # seperti itu # v_5 (n!) = 2016 #. Jika kita mengira # v_5 (5 ^ k!) # untuk beberapa nilai # k #, kita dapati

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Sebagai #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # n # memerlukan dua "blok" daripada #5^5#, dua daripada #5^4#, empat daripada #5^3#, dan tiga daripada #5^2#. Oleh itu, kita dapat

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Komputer boleh dengan cepat mengesahkannya #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Oleh itu #10^2016 | 8075!#, dan sebagai #5|8075!# dengan kepelbagaian #2016# dan #5|8075#, adalah jelas bahawa tiada nilai yang lebih rendah akan mencukupi.