Segitiga mempunyai sudut A, B, dan C yang terletak pada (3, 5), (2, 9), dan (4, 8), masing-masing. Apakah titik akhir dan panjang ketinggian yang berlaku melalui sudut C?

Jawapan:

Titik akhir #(4,8)# dan #(40/17, 129/17) # dan panjang # 7 / sqrt {17} #.

Penjelasan:

Saya nampaknya pakar dalam menjawab soalan dua tahun yang lalu. Jom sambung.

Ketinggian melalui C adalah tegak lurus ke AB melalui C.

Ada beberapa cara untuk melakukan perkara ini. Kita boleh mengira cerun AB sebagai #-4,# maka cerun berserenjang adalah #1/4# dan kita dapat mencari pertemuan jejak dengan C dan garis melalui A dan B. Mari kita cuba cara lain.

Mari kita panggil kaki serenjang #F (x, y) #. Kami tahu produk titik arah vektor CF dengan arah vektor AB adalah sifar jika ia berserenjang:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Itulah satu persamaan. Persamaan lain mengatakan #F (x, y) # berada di garisan melalui A dan B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Mereka bertemu ketika

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

CF panjang ketinggian adalah

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Mari kita periksa ini dengan mengira kawasan menggunakan formula kasut dan kemudian menyelesaikan untuk ketinggian. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #