Apakah ramalan (3i + 2j - 6k) ke (3i - 4j + 4k)?

Jawapan:

Unjuran vektor ialah #< -69/41,92/41,-92/41 >#, unjuran skalar ialah # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Penjelasan:

Diberikan # veca = (3i + 2j-6k) # dan # vecb = (3i-4j + 4k) #, kita dapat mencari #proj_ (vecb) veca #, yang vektor unjuran # veca # ke atas # vecb # menggunakan formula berikut:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Iaitu, produk titik dua vektor yang dibahagikan dengan magnitud # vecb #, di darab dengan # vecb # dibahagikan dengan magnitudnya. Kuantiti kedua adalah kuantiti vektor, kerana kita membahagikan vektor dengan skalar. Perhatikan bahawa kita membahagikan # vecb # dengan magnitudnya untuk mendapatkan a vektor unit (vektor dengan magnitud #1#). Anda mungkin dapat melihat bahawa kuantiti pertama adalah skalar, seperti yang kita tahu bahawa apabila kita mengambil produk dot dua vektor, hasilnya adalah skalar.

Oleh itu, skalar unjuran # a # ke atas # b # adalah #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, juga ditulis # | proj_ (vecb) veca | #.

Kita boleh mulakan dengan mengambil produk dot dua vektor, yang boleh ditulis sebagai # veca = <3,2, -6> # dan # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Kemudian kita dapat mencari magnitud # vecb # dengan mengambil punca kuasa kuadrat bagi setiap komponen.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

Dan kini kita mempunyai segala yang kita perlukan untuk mencari unjuran vektor # veca # ke atas # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Anda boleh mengagihkan pekali untuk setiap komponen vektor dan tulis sebagai:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Unjuran skalar # veca # ke atas # vecb # hanya separuh pertama formula, di mana #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Oleh itu, unjuran skalar ialah # -23 / sqrt (41) #, yang tidak memudahkan lagi, selain merasionalisasi penyebut jika dikehendaki, memberi # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Harap yang membantu!