Kami mempunyai bumbung setengah silinder radius r dan ketinggian dipasang di atas empat dinding segi empat tepat ketinggian h. Kami mempunyai 200π m ^ 2 lembaran plastik untuk digunakan dalam pembinaan struktur ini. Apakah nilai r yang membolehkan jumlah maksimum?

Jawapan:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Penjelasan:

Biarkan saya menyatakan semula soalan itu kerana saya faham.

Dengan syarat luas permukaan objek ini # 200pi #, memaksimumkan kelantangan.

Rancang

Mengetahui kawasan permukaan, kita boleh mewakili ketinggian # h # sebagai fungsi jejari # r #, maka kita boleh mewakili isipadu sebagai fungsi hanya satu parameter - jejari # r #.

Fungsi ini perlu dimaksimumkan menggunakan # r # sebagai parameter. Itu memberikan nilai # r #.

Kawasan permukaan mengandungi:

4 dinding yang membentuk permukaan sampingan parallelepiped dengan perimeter asas # 6r # dan ketinggian # h #, yang mempunyai keluasan luas # 6rh #.

1 bumbung, separuh daripada permukaan sampingan silinder radius # r # dan hight # r #, yang mempunyai keluasan #pi r ^ 2 #

2 sisi bumbung, separuh lingkaran radius # r #, jumlah kawasannya adalah #pi r ^ 2 #.

Kawasan permukaan keseluruhan objek yang dihasilkan

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Mengetahui ini sama dengan # 200pi #, kita boleh nyatakan # h # dari segi # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Jumlah objek ini mempunyai dua bahagian: Di bawah bumbung dan di dalam bumbung.

Di bawah bumbung kita mempunyai parallelepiped dengan kawasan asas # 2r ^ 2 # dan ketinggian # h #, iaitu jumlahnya

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ ^ 3 #

Di dalam bumbung kita mempunyai setengah silinder dengan jejari # r # dan ketinggian # r #, jumlahnya ialah

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Kita perlu memaksimumkan fungsi tersebut

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir -

yang kelihatan seperti ini (bukan skala)

graf {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Fungsi ini mencapai maksimum apabila ia terbitan bersamaan dengan sifar untuk hujah positif.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Dalam bidang #r> 0 # ia bersamaan dengan sifar apabila # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Itulah radius yang memberikan kelantangan terbesar, memandangkan kawasan permukaan dan bentuk objek.