Bagaimana anda mengintegrasikan int sec ^ -1x dengan integrasi dengan kaedah bahagian?

Jawapan:

Jawapannya ialah # = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Penjelasan:

Kita perlu

# (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integrasi oleh bahagian adalah

# intu'v = uv-intuv '#

Di sini, kita ada

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Oleh itu, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Lakukan integral kedua dengan penggantian

Biarkan # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Biarkan # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

Jadi, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Akhirnya, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Jawapan:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Penjelasan:

Sebagai alternatif, kita boleh menggunakan formula yang kurang dikenali untuk mengendalikan integral fungsi songsang. Formula menyatakan:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

di mana # f ^ -1 (x) # adalah kebalikan dari #f (x) # dan #F (x) # adalah anti-derivatif #f (x) #.

Dalam kes kita, kita dapat:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Sekarang semua yang kita perlu lakukan ialah anti-derivatif # F #, yang merupakan integral yang paling biasa:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Palam balik ini ke dalam formula memberikan jawapan terakhir kami:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)

Kita perlu berhati-hati untuk memudahkan #tan (sec ^ -1 (x)) # kepada #sqrt (x ^ 2-1) # kerana identiti hanya sah jika # x # adalah positif. Kami bernasib baik, bagaimanapun, kerana kami boleh membetulkannya dengan meletakkan nilai mutlak pada istilah lain di dalam logaritma. Ini juga menghilangkan keperluan untuk nilai mutlak pertama, kerana segala sesuatu di dalam logaritma akan selalu positif:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #