Apakah kumpulan Abelian, dari perspektif aljabar linear / abstrak?

Jawapan:

Kumpulan Abelian adalah kumpulan dengan harta tambahan operasi kumpulan yang komutatif.

Penjelasan:

A kumpulan # <G, •> # adalah set # G # bersama-sama dengan operasi binari # •: GxxG-> G # yang memenuhi syarat-syarat berikut:

1. # G # adalah ditutup di bawah #•#.

   Bagi apa apa # a, binG #, kita ada # a • b dalam G #

2. #•# adalah bersekutu.

   Bagi apa apa # a, b, cinG #, kita ada # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # G # mengandungi satu unsur identiti

   Terdapat wujud # einG # seperti itu untuk semua # ainG #, # a • e = e • a = a #

4. Setiap elemen # G # mempunyai songsang dalam # G #

   Untuk semua # ainG # ada #a ^ (- 1) inG # seperti itu # a • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

Satu kumpulan dikatakan Abelian jika ia juga mempunyai harta itu #•# adalah komutatif, iaitu, untuk semua # a, binG #, kita ada # a • b = b • a #.

Kumpulan # <ZZ, +> # (bilangan bulat dengan penambahan standard) adalah kumpulan Abelian, kerana ia memenuhi semua lima syarat di atas.

Kumpulan # GL_2 (RR) # (set boleh terbalik # 2 "x" 2 # matriks dengan unsur-unsur sebenar bersama-sama dengan pendaraban matriks) adalah bukan Abelian, kerana ketika ia memenuhi empat syarat pertama, pendaraban matriks antara matriks yang boleh diubah tidak semestinya bersifat komutatif. Sebagai contoh:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

tetapi

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#