Apakah julat fungsi f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Jawapan:

Julat itu #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + keras) #

Penjelasan:

Perhatikan bahawa penyebut tidak jelas pada bila-bila masa

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, iaitu, setiap kali

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

atau

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, di mana #n dalam ZZ # (# n # adalah integer).

Sebagai # x # pendekatan #x_ (1, n) # dari bawah, #f (x) # pendekatan # - ketinggalan #, sedangkan jika # x # pendekatan #x_ (1, n) # dari atas kemudian #f (x) # pendekatan # + kurang kuat #. Ini disebabkan pembahagian oleh "hampir #-0# atau #+0#'.

Untuk #x_ (2, n) # keadaan terbalik. Sebagai # x # pendekatan #x_ (2, n) # dari bawah, #f (x) # pendekatan # + kurang kuat #, sedangkan jika # x # pendekatan #x_ (2, n) # dari atas kemudian #f (x) # pendekatan # -ftfty #.

Kami mendapat urutan selang masa #f (x) # adalah berterusan, seperti yang dapat dilihat dalam plot. Pertimbangkan terlebih dahulu "mangkuk" (di mana hujung fungsi itu bertiup # + kurang kuat #). Jika kita dapat mencari minima tempatan dalam selang ini, maka kita tahu itu #f (x) # menganggap semua nilai antara nilai ini dan # + kurang kuat #. Kita boleh melakukan perkara yang sama untuk "mangkuk terbalik", atau "topi".

Kami perhatikan bahawa nilai positif terkecil diperoleh apabila penyebut dalam #f (x) # adalah setakat yang mungkin, iaitu ketika #sin (x) = 1 #. Oleh itu, kita menyimpulkan bahawa nilai positif terkecil #f (x) # adalah #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Nilai negatif terbesar juga didapati #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Kerana kesinambungan #f (x) # dalam jangka masa antara kekurangan, dan Teorem nilai Pertengahan, kita boleh membuat kesimpulan bahawa julat #f (x) # adalah

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + keras) #

Kurungan keras bermaksud angka tersebut dimasukkan dalam jeda (mis. #-1/2#), manakala kurungan lembut bermaksud nombor itu tidak dimasukkan.

graf {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}