Selesaikan soalan 39?

Jawapan:

B

Penjelasan:

Pertama, kita harus menggunakan fakta bahawa nombor-nombor itu mesti berturut-turut, dengan memanggil nombor-nombor yang kita pilih # n-1, n, n + 1 #, di mana jika kita mematuhi kekangan tersebut # n # mestilah antara #-9# dan #9# termasuk.

Kedua, perhatikan bahawa jika kita mendapat nilai tertentu untuk sesuatu yang tertentu # a, b, c #, kita boleh bertukar-tukar nilai-nilai tertentu, tetapi masih mendapat hasil yang sama. (Saya percaya ini dipanggil untuk diperbaiki tetapi melupakan istilah yang betul)

Jadi kita boleh biarkan # a = n-1 #,# b = n #,# c = n + 1 #, sekarang kita pasangkan ini:

# (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

(n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (n ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (n ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Sekarang masalah kita menjadi untuk melihat apa nilai-nilai # -9 <= n <= 9 # ungkapan memberi nilai integer, berapa banyak nilai yang kami dapat.

Saya akan meneruskan penyelesaian dalam jawapan yang berasingan hanya untuk memudahkan membaca.

Jawapan:

Bahagian 2 sol saya. Ini akan menggunakan aritmetik modular, tetapi jika anda tidak terbiasa dengannya maka selalu ada pilihan untuk menyerahkan semua nilai yang diperlukan # n #

Penjelasan:

Kerana ungkapan mestilah nilai integer, bahagian bawah mesti membahagikan bahagian atas dengan tepat. Oleh itu, pengangka harus mempunyai faktor 3. Dan untuk ini kita harus menggunakan aritmetik modular.

Perhatikan yang n memuaskan: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Sekarang casework:

1. Kami cuba # n = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, yang tidak berfungsi

2. Kami cuba # n = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, yang berfungsi

3. Kami cuba # n = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, yang tidak berfungsi

Jadi kita sedar itu # n # mestilah bentuknya # 3k + 1 #, atau satu lebih daripada satu gandaan 3. Memandangkan rangkaian kami untuk n, yang # -9 <= n <= 9 #, kita mempunyai nilai kemungkinan:

# n = -8, -5, -2,1,4,7 #.

Pada ketika ini, anda mungkin dapat menggunakan fakta itu # n = 3k + 1 #, tetapi dengan hanya 6 nilai untuk memeriksa saya memutuskan untuk bukannya mengira setiap satunya, dan satu-satunya nilai untuk # n # yang berfungsi # n = 1 #, menghasilkan hasil daripada #1#.

Jadi akhirnya, satu-satunya set nombor berturut-turut yang menghasilkan hasil integer ialah #0,1,2#, memberi #1# Oleh itu jawapannya # B #