Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 pada bila-bila masa yang berikutnya t = t_1, phi_n adalah eigenfunctions energi dari potensi yang tidak terbatas. Tuliskan jawapan dari segi E_0?

Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 pada bila-bila masa yang berikutnya t = t_1, phi_n adalah eigenfunctions energi dari potensi yang tidak terbatas. Tuliskan jawapan dari segi E_0?
Anonim

Nah, saya dapat # 14 / 5E_1 #… dan diberi sistem pilihan anda, ia tidak dapat dinyatakan semula dari segi # E_0 #.

Terdapat banyak mekanik kuantum yang patah dalam soalan ini …

  • The # phi_0 #, kerana kami menggunakan penyelesaian yang berpotensi yang tidak terhingga, hilang secara automatik … #n = 0 #, jadi #sin (0) = 0 #.

Dan untuk konteks, kami telah membiarkannya #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

  • Ia adalah tidak mungkin untuk menulis jawapan dari segi # E_0 # kerana #n = 0 # TIDAK wujud untuk potensi yang tidak terhingga. Kecuali anda mahu zarah tersebut hilang , Saya mesti menulisnya dari segi # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…

  • Tenaga adalah gerakan yang berterusan, iaitu. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Jadi sekarang …

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L)

Nilai jangkaan adalah gerakan yang berterusan, jadi kami tidak peduli apa masa # t_1 # kami pilih. Jika tidak, ini bukan sistem konservatif …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # untuk beberapa #n = 1, 2, 3,… #

Sebenarnya, kita sudah tahu apa yang sepatutnya, kerana Hamiltonian untuk potensi satu dimensi yang tidak terbatas adalah masa-INDEPENDEN …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

dan juga # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # pergi ke 1 dalam perkara penting:

#color (blue) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

di mana kita telah membiarkan #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Sekali lagi, semua faktor fasa dibatalkan, dan kami perhatikan bahawa istilah luar-pepenjuru menjadi sifar disebabkan oleh ortogonalitas # phi_n #.

Penyebut adalah norma # Psi #, iaitu

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Oleh itu, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Yang memberi:

= 1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) membatalkan (e ^ (iE_1t_http: // ℏ) (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) dosa ((pix) / L) membatalkan (e / int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) membatalkan (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) dosa -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ ((2pix) / L) membatalkan (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Terapkan derivatif:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ dosa ((2pix) / L) dx #

Constants float out:

(2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L dx + 1/2 (4 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin (2pix) / L) #

Dan integral ini dikenali kerana sebab-sebab fizikal untuk menjadi separuh antara #0# dan # L #, bebas daripada # n #:

(2/2) / (2/2/2) / 2/2/2 (4 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4 ^ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = warna (biru) (14/5 E_1) #

Jawapan:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Penjelasan:

Setiap negeri pegun yang sepadan dengan nilai eigen tenaga # E_n # mengambil fasa faktor #e ^ {- iE_n t} # pada masa evolusi. Negeri yang diberikan ialah tidak keadaan pegun - kerana ia adalah superposisi tenaga eigenstates milik kepunyaan eigen yang berbeza. Akibatnya, ia akan berubah mengikut masa dengan cara yang tidak remeh. Walau bagaimanapun, persamaan Schroedinger yang mengawal evolusi masa keadaan adalah linier - supaya setiap eigenfungsi tenaga komponen berkembang secara bebas - mengambil faktor fasa sendiri.

Jadi, fungsi gelombang bermula

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x)

berkembang dalam masa # t # kepada

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Oleh itu, nilai jangkaan tenaga pada masa itu # t # diberikan oleh

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) hat {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) (X) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

di mana kita telah menggunakan hakikat bahawa #phi_i (x) # adalah eigenfunctions tenaga, supaya #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Ini masih memberi kita sembilan syarat. Walau bagaimanapun, pengiraan akhir dipermudahkan banyak oleh fakta bahawa eigenfunctions tenaga ortho-normalized, jadi. mereka taat

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Ini bermakna bahawa sembilan integral, hanya tiga bertahan, dan kita dapat

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Menggunakan hasil standard itu #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, kita ada # E_1 = 4E_0 # dan # E_2 = 9E_0 # untuk potensi yang tidak terhingga (anda mungkin lebih berguna untuk ungkapan yang mengatakannya #E_n propto n ^ 2 # untuk satu keadaan yang tidak terhingga - tetapi dalam keadaan tanah itu dilabelkan # E_1 # - Di sini kita melabelnya # E_0 # - maka perubahan itu). Oleh itu

# <E> = (1/6 kali 1 + 1/3 kali 4 + 1/2 kali 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Catatan:

  1. Sementara tenaga eigenfunctions berubah dalam masa dengan mengambil faktor fasa, fungsi gelombang keseluruhan tidak berbeza dari yang awal dengan hanya faktor fasa - inilah sebabnya mengapa ia bukan lagi keadaan pegun.
  2. Integral yang terlibat adalah seperti

    # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} times int_-infty ^ insix psi_i (x) psi_j (x) dx #

    dan kelihatan seperti ini adalah masa yang bergantung. Walau bagaimanapun, satu-satunya integral yang bertahan adalah untuk # i = j # - dan ini adalah tepat untuk pembatalan masa yang dibatalkan.

  3. Keputusan terakhir sesuai dengan fakta itu #hat {H} # telah dipelihara - walaupun negeri itu bukan keadaan pegun - nilai jangkaan tenaga tidak bergantung pada masa.
  4. Fungsi gelombang asal sudah dinormalisasi sejak # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # dan normalisasi ini dikekalkan dalam evolusi masa.
  5. Kita boleh mengurangkan banyak kerja jika kita telah menggunakan hasil mekanikal kuantum standard - jika fungsi gelombang diperluaskan dalam bentuk #psi = sum_n c_n phi_n # Dimanakah # phi_n # adalah eigenfunctions seorang pengendali Hermit #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, kemudian # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, dengan syarat, sudah tentu keadaan-keadaan itu telah normal.
Kalkulus
Pilihan Editor