Kami ada:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Langkah 2 - Kenal pasti Kritikal
Titik kritikal berlaku pada penyelesaian serentak
# f_x = f_y = 0 iff (parsial f) / (parsial x) = (parsial f) / (parsial y) = 0 #
iaitu ketika:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^), = 0, … B):}} # pada masa yang sama
Dari mana kita boleh menetapkan:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Oleh itu, kita memerlukannya:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Kemudian kami mempunyai dua (tak terhingga) penyelesaian:
#:. x = + - y #
Oleh itu, kita membuat kesimpulan bahawa terdapat banyak titik kritikal di sepanjang keseluruhan persimpangan lengkung dan kedua-dua pesawat
Langkah 3 - Klasifikasikan perkara kritikal
Untuk mengklasifikasikan titik kritikal kami melakukan ujian yang serupa dengan satu kalkulator berubah menggunakan derivatif separa kedua dan Hessian Matrix.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parsial ^ 2 f) / (parsial x ^ 2), (parsial ^ 2 f) / (parsial x parsial y)) / (separa y ^ 2)) | #
# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Kemudian bergantung kepada nilai
# {: (Delta> 0, "ada maksimum jika" f_ (xx) <0), (dan "minimum jika" f_ (xx)> 0), (Delta <0,), (Delta = 0, "Analisis lebih lanjut diperlukan"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
(x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Kita perlu menimbangkan tanda
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Jadi, bergantung kepada tanda itu
Inilah plot fungsi ini
Dan di sini adalah plot fungsi termasuk pesawat
