Apakah persamaan dalam bentuk standard parabola dengan fokus pada (42, -31) dan directrix y = 2?

Jawapan:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # bentuk standard

Penjelasan:

Sila perhatikan bahawa directrix adalah garis mendatar

#y = 2 #

Oleh itu, parabola adalah jenis yang membuka ke atas atau ke bawah; bentuk puncak persamaan untuk jenis ini ialah:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

Di mana # (h, k) # adalah puncak dan # f # adalah jarak menegak yang ditandatangani dari puncak ke tumpuan.

Koordinat x dari puncak adalah sama dengan koordinat x fokus:

#h = 42 #

Pengganti #42# untuk # h # ke dalam persamaan 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

Koordinat y di puncak adalah separuh antara directrix dan fokus:

#k = (y_ "directrix" + y_ "fokus") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Pengganti #-29/2# untuk # k # ke persamaan 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

Persamaan untuk mencari nilai # f # adalah:

#f = y_ "fokus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Pengganti #-33/2# untuk # f # ke dalam persamaan 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Memudahkan pecahan:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Kembangkan persegi itu:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Bagikan pecahan:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

Menggabungkan seperti istilah:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # bentuk standard

Jawapan:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Penjelasan:

Kami akan menyelesaikannya Masalah menggunakan yang berikut Focus-Directrix

Harta (FDP) daripada Parabola.

FDP: Mana-mana titik pada a Parabola adalah equidistant daripada

Fokus dan juga Directrix.

Katakanlah, maksudnya # F = F (42, -31), "dan, baris" d: y-2 = 0, # menjadi

yang Fokus dan juga Directrix daripada Parabola, katakan S.

Katakanlah, # P = P (x, y) di S, # menjadi apa-apa Titik Am.

Kemudian, gunakan Formula Jarak, kita ada, jarak,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

Mengetahui bahawa # bot- #dist. antara satu titik # (k, k), # dan, satu baris:

# ax + by + c = 0, # adalah, # | ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # kita dapati bahawa, # "the" bot- "dist. btwn" P (x, y), &, d "is," | y-2 | ………….. (2). #

Oleh FDP, # (1), dan (2), # kita ada, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 |, atau, #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, iaitu, #

# x ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # yang, dalam Borang Standard, membaca, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

sebagai Dihormati Douglas K. Sir telah pun diperoleh!

Nikmati Matematik.!