Bagaimanakah anda menemui Formula MacLaurin untuk f (x) = sinhx dan menggunakannya pada anggaran f (1/2) dalam lingkungan 0.01?

Jawapan:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

Penjelasan:

Kita tahu definisi untuk #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Oleh kerana kita tahu siri Maclaurin untuk # e ^ x #, kita boleh menggunakannya untuk membina satu untuk #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Kita boleh mencari siri ini # e ^ -x # dengan menggantikan # x # dengan # -x #:

# e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Kita boleh menolak kedua-dua antara satu sama lain untuk mencari pengangka # sinh # definisi:

#color (putih) (- e ^ -x.) e ^ x = warna (putih) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#color (putih) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^ -x = warna (putih) (lllllllll) 2xcolor (putih) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) warna (putih) (lllllll) + (2x ^ 5)) … #

Kita dapat melihat bahawa semua istilah juga membatalkan dan semua istilah ganjil berganda. Kita boleh mewakili corak seperti ini:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Untuk melengkapkan #sinh (x) # siri, kita hanya perlu membahagikannya dengan #2#:

(x ^ e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 /

Sekarang kita mahu mengira #f (1 / 2) # dengan ketepatan sekurang-kurangnya #0.01#. Kami tahu bentuk umum kesilapan Lagrange yang terikat untuk poliomial derajat taylor nth # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # di mana # M # adalah batas atas derivatif n pada selang dari # c # kepada # x #.

Dalam kes kita, pengembangan itu adalah siri Maclaurin, jadi # c = 0 # dan # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Derivatif pesanan yang lebih tinggi daripada #sinh (x) # sama ada #sinh (x) # atau #cosh (x) #. Sekiranya kita menganggap definisi bagi mereka, kita dapat melihatnya #cosh (x) # akan sentiasa lebih besar daripada #sinh (x) #, jadi kita harus berusaha # M #-bound untuk #cosh (x) #

Fungsi kosinus hiperbolik sentiasa meningkat, jadi nilai terbesar pada selang akan berada di #1 / 2#:

2 (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Sekarang kita memasangkan ini ke dalam kesilapan Lagrange terikat:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1)

Kami mahu # | R_n (x) | # menjadi lebih kecil daripada #0.01#, jadi kita cuba beberapa # n # nilai-nilai sehingga kita sampai ke titik itu (jumlah istilah yang lebih rendah dalam polinomial, lebih baik). Kami mendapati bahawa # n = 3 # adalah nilai pertama yang akan memberi kita ralat yang terikat lebih kecil daripada #0.01#, jadi kita perlu menggunakan polinomial taylor darjah ke-3.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0.52 #

The Bisons memenangi 51 perlawanan pada tahun lepas. Pasukan itu memenangi 71 perlawanan pada tahun ini. Bagaimanakah anda menemui anggaran peningkatan peratus dalam kemenangan?

39.2156% peningkatan peratus ((71-51) / 51) * 100% = 39.2156% Tuhan memberkati ... Saya berharap penjelasan berguna.

Air bocor dari tangki conical terbalik pada kadar 10,000 cm3 / min pada masa yang sama air sedang dipam ke dalam tangki pada kadar yang tetap Jika tangki mempunyai ketinggian 6m dan diameter di atas adalah 4 m dan Sekiranya paras air meningkat pada kadar 20 cm / min apabila ketinggian air adalah 2m, bagaimanakah anda mendapati kadar di mana air itu dipam ke dalam tangki?

Biarkan V menjadi isipadu air dalam tangki, dalam cm ^ 3; biarkan h ialah kedalaman / ketinggian air, dalam cm; dan biarkan r menjadi jejari permukaan air (di atas), dalam cm. Oleh kerana tangki adalah kerucut terbalik, begitu juga jisim air. Oleh kerana tangki mempunyai ketinggian 6 m dan jejari di bahagian atas 2 m, segitiga serupa menandakan bahawa frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 supaya h = 3r. Jumlah kon udara yang terbalik ialah V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Sekarang membezakan kedua-dua pihak berkenaan dengan masa t (dalam minit) untuk mendapatkan frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} langka

Anda melabur $ 1,000 dalam dana. Anda periksa kenyataan anda pada akhir bulan April dan anda telah kehilangan 13%. Apabila kenyataan untuk bulan Mei datang, anda melihat anda memperoleh 13% pada bulan Mei. Apakah nilai akaun anda? Bulat ke dolar terdekat.

Langkah demi langkah Pada bulan April, anda kehilangan $ 1000times0.13 = $ 130 Wang anda pada akhir bulan April = $ 1000- $ 130 = $ 870 Pada bulan Mei anda mendapat 13% = $ 870times0.13 = $ 113.1 Wang anda pada akhir Mei = $ 870 + $ 113 = $ 983 Jawapan anda ialah $ 983